6-значне число-це число, що складається з шести цифр. Але скільки з них містять хоча б одну парну цифру? Щоб відповісти на це запитання, нам потрібно проаналізувати всі можливі комбінації цифр у 6-значних числах.
Уявімо, що у нас є число "ABCDE". У цьому числі можуть бути як парні цифри (0, 2, 4, 6, 8), так і непарні цифри (1, 3, 5, 7, 9). Щоб знайти Кількість 6-значних чисел з принаймні однією парною цифрою, ми повинні обчислити кількість комбінацій, де принаймні одна з цифр буде парною.
Завдання на перший погляд може здатися складною, але насправді досить проста. Ми можемо розбити її на дві частини. У першій частині ми знайдемо Кількість 6-значних чисел, в яких всі цифри непарні. У другій частині ми знайдемо загальну кількість 6-значних чисел і віднімемо з нього кількість чисел, в яких всі цифри непарні.
Кількість 6-значних чисел з хоча б однією парною цифрою
Для визначення кількості 6-значних чисел з хоча б однією парною цифрою, слід розглянути всі можливі комбінації з шести цифр. Кожна з цих цифр може приймати значення від 0 до 9.
Для початку, обчислимо загальну кількість 6-значних чисел, які можуть бути утворені з шести цифр. Враховуючи, що кожна з шести цифр може приймати значення від 0 до 9, Загальна кількість 6-значних чисел дорівнює:
10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 1 000 000
Тепер розглянемо Кількість 6-значних чисел без парних цифр. Щоб визначити цю кількість, розглянемо кожну з шести позицій в числі і кількість варіантів для кожної позиції.
| Позиція | Кількість варіантів |
|---|---|
| 1 | 5 (цифри 1, 3, 5, 7, 9) |
| 2 | 9 (усі цифри, крім 0) |
| 3 | 9 |
| 4 | 9 |
| 5 | 9 |
| 6 | 9 |
Отже, кількість 6-значних чисел без парних цифр дорівнює:
5 * 9 * 9 * 9 * 9 * 9 = 295 245
Тепер ми можемо обчислити кількість 6-значних чисел з принаймні однією парною цифрою, віднімаючи кількість чисел без парних цифр із загальної кількості 6-значних чисел:
1 000 000 - 295 245 = 704 755
Таким чином, кількість 6-значних чисел з принаймні однією парною цифрою дорівнює 704 755.
Чотири варіанти останньої цифри
У задачі про пошук кількості 6-значних чисел з хоча б однією парною цифрою, остання цифра відіграє особливу роль. Адже саме вона визначає, чи буде число парним або непарним. Розглянемо чотири варіанти можливих останніх цифр і їх вплив на загальну кількість чисел.
1. Остання цифра дорівнює 0
Якщо остання цифра дорівнює 0, то число завжди буде парним. В даному випадку кожна з решти п'яти цифр може приймати будь-яке значення від 0 до 9, включаючи 0. Таким чином, кількість 6-значних чисел з останньою цифрою 0 дорівнює 10^5 = 100 000.
2. Остання цифра дорівнює 2, 4, 6 або 8
Якщо остання цифра дорівнює 2, 4, 6 або 8, то число буде парним. В цьому випадку, на саму останню цифру накладається умова парності, і залишилися чотири цифри можуть приймати будь-які значення від 0 до 9, крім парних цифр (серед решти чотирьох цифр повинна бути хоча б одна непарна). Таким чином, кількість 6-значних чисел з останньою цифрою 2, 4, 6 або 8 дорівнює 5 * 9^4 = 32 850.
3. Остання цифра дорівнює 1, 3, 5, 7 або 9
Якщо остання цифра дорівнює 1, 3, 5, 7 або 9, то число буде непарним. В даному випадку кожна з решти п'яти цифр може приймати будь-яке значення від 0 до 9, і кількість таких чисел дорівнює 10^5 = 100 000.
4. Загальна кількість чисел
Загальна кількість 6-значних чисел з хоча б однією парною цифрою дорівнює сумі кількості чисел з пунктів 1, 2 і 3:
100 000 + 32 850 + 100 000 = 232 850.
Таким чином, існує 232 850 шестицифрових чисел, в яких хоча б одна цифра є парною.
Один варіант першої цифри
Для 6-значного числа з хоча б однією парною цифрою, перша цифра може бути обрана з наступних варіантів:
Всього існує 4 варіанти для першої цифри числа.
Варіанти для парних цифр
Для складання 6-значних чисел з хоча б однією парною цифрою, можна використовувати наступні варіанти:
- Помістити парну цифру на першу позицію числа, а інші цифри можуть бути будь-якими (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 або 9). Кількість варіантів для цього випадку дорівнює 9 * 10 4 = 90 000.
- Помістити парну цифру на другу позицію числа, а інші цифри можуть бути будь-якими (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 або 9) або вони можуть бути такими ж, як і на першій позиції. Кількість варіантів для цього випадку дорівнює 1 * 5 * 10 3 = 5 000.
- Помістити парну цифру на третю позицію числа, а інші цифри можуть бути будь-якими (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 або 9) або вони можуть бути такими ж, як і на першій або другій позиції. Кількість варіантів для цього випадку дорівнює 1 * 10 * 5 * 10 2 = 5 000.
- Помістити парну цифру на четверту позицію числа, а інші цифри можуть бути будь-якими (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 або 9) або вони можуть бути такими ж, як і на першій, другій або третій позиції. Кількість варіантів для цього випадку дорівнює 1 * 10 * 10 * 5 * 10 1 = 5 000.
- Помістити парну цифру на п'яту позицію числа, а інші цифри можуть бути будь-якими (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 або 9) або вони можуть бути такими ж, як і на першій, другій, третій або четвертій позиції. Кількість варіантів для цього випадку дорівнює 1 * 10 * 10 * 10 * 5 * 10 0 = 5 000.
- Помістити парну цифру на шосту позицію числа, а інші цифри можуть бути будь-якими (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 або 9) або вони можуть бути такими ж, як і на першій, другій, третій, четвертій або п'ятій позиції. Кількість варіантів для цього випадку також дорівнює 5 000.
Таким чином, всього існує 90 000 + 5 000 + 5 000 + 5 000 + 5 000 + 5 000 = 115 000 6-значних чисел з хоча б однією парною цифрою.
Перестановки непарних цифр
Для визначення кількості 6-значних чисел з хоча б однією парною цифрою, можна розглянути перестановки непарних цифр. Щоб число було 6-значним, перша цифра не може бути нулем.
Візьмемо наступні умови:
- Цифри, які ми можемо використовувати: 1, 3, 5, 7, 9.
- Якщо перша цифра буде 1, то у нас є 5 варіантів для решти 5 позицій (1 варіант для кожної непарної цифри).
- Якщо перша цифра буде 3, то у нас є 5 варіантів для першої позиції і 4 варіанти для решти 5 позицій.
- Те ж саме продовжується для інших непарних цифр: 5, 7, 9.
Таким чином, загальну кількість 6-значних чисел з принаймні однією парною цифрою можна знайти як суму всіх цих варіантів:
5 + 4 x 5 + 4 x 5^2 + 4 x 5^3 + 4 x 5^4 + 4 x 5^5 = 3125
Таким чином, існує 3125 6-значних чисел, які містять принаймні одну парну цифру.
| No. | Перша цифра | Решта 5 позицій | Парна цифра |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 5 | Так |
| 2 | 3 | 4 | Так |
| 3 | 5 | 3 | Так |
| 4 | 7 | 2 | Так |
| 5 | 9 | 1 | Так |
Варіанти з двома парними цифрами
Щоб знайти Кількість 6-значних чисел з двома парними цифрами, ми можемо використовувати метод комбінаторики.
Спочатку виберемо дві позиції з шести, які будуть зайняті парними цифрами. Це можна зробити за формулою поєднання:
C(6, 2) = 6! / (2! * (6-2)!) = 15
Після вибору позицій для парних цифр, інші позиції заповнюються непарними цифрами. У даній задачі непарними цифрами можуть бути числа 1, 3, 5, 7 і 9.
Таким чином, для кожної позиції, яка не є парною, у нас є 5 варіантів вибору цифри (оскільки ми виключаємо парні цифри).
Таким чином, загальна кількість 6-значних чисел з двома парними цифрами дорівнює: 15 * 5 * 5 = 375.
Таких чисел існує 375.
Групи з однаковими цифрами
Коли ми говоримо про 6-значних числах з хоча б однією парною цифрою, корисно розглянути групи чисел, в яких присутні однакові цифри. Це допоможе нам проаналізувати кількість таких чисел.
Розглянемо групи чисел, що містять дві однакові цифри. Починаючи з першої цифри числа, ми можемо вибрати будь-яку цифру від 0 до 9. Далі, вибравши одну цифру, ми можемо вибрати будь-яку з 6 позицій для цієї цифри. Потім ми можемо вибрати іншу цифру (унікальну від першої) з решти 9 цифр і вибрати для неї одну з решти позицій.
Таким чином, загальна кількість 6-значних чисел з двома однаковими цифрами буде дорівнює:
| Вибір першої цифри | Вибір позиції для першої цифри | Вибір унікальної цифри | Вибір позиції для унікальної цифри |
|---|---|---|---|
| 10 (0-9) | 6 (з 6 позицій) | 9 (з 9 цифр, що залишилися) | 5 (з 5 позицій, що залишилися) |
Разом, загальна кількість 6-значних чисел з двома однаковими цифрами дорівнюватиме 10 * 6 * 9 * 5 = 2700.
Аналогічно, ми можемо розглянути групи чисел з трьома однаковими цифрами, чотирма однаковими цифрами і т. д. Розрахувавши кількість чисел у кожній групі, ми зможемо визначити загальну кількість 6-значних чисел із принаймні однією парною цифрою.
Кількість перестановок у групі
Кількість перестановок в групі залежить від кількості елементів і може бути обчислено з використанням спеціальних формул.
Скажімо, у нас є група з n елементів. Питання полягає в тому, скільки існує перестановок у цій групі.
Кількість перестановок у групі можна знайти за допомогою формули:
n!, де n-кількість елементів у групі, а знак "!"позначає Факторіал числа.
Факторіал числа дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до n.
Так, наприклад, Факторіал числа 3 дорівнює 3! = 3 * 2 * 1 = 6.
Отже, щоб знайти кількість перестановок в групі з n елементів, потрібно обчислити Факторіал числа n.
Наприклад, якщо у нас є група з 6 елементів, то кількість перестановок буде дорівнює 6! = 720.
Кількість перестановок у групі може бути величезною, тому важливо правильно використовувати формулу для обчислення та не допускати помилок під час підрахунку.
| n | n! |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
Підсумкова відповідь
Для знаходження кількості 6-значних чисел з хоча б однією парною цифрою необхідно обчислити кількість всіх можливих 6-значних чисел і відняти з цього числа Кількість 6-значних чисел, в яких всі цифри непарні.
Кількість усіх можливих 6-значних чисел можна обчислити, враховуючи, що перша цифра числа не може бути нулем. Тому першу цифру можна вибрати з дев'яти можливих варіантів (від 1 до 9), а кожну з решти п'яти цифр можна вибрати з десяти можливих варіантів (від 0 до 9). Таким чином, загальна кількість можливих 6-значних чисел становить 9 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 900 000.
Кількість 6-значних чисел, в яких всі цифри непарні, можна обчислити, вибравши кожну з шести цифр з п'яти можливих непарних варіантів (1, 3, 5, 7, 9). Таким чином, кількість таких чисел дорівнює 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 15 625.
Отже, щоб знайти Кількість 6-значних чисел з хоча б однією парною цифрою, потрібно відняти кількість 6-значних чисел, в яких всі цифри непарні, із загальної кількості можливих 6-значних чисел: 900 000 - 15 625 = 884 375.
Підсумковий відповідь: Кількість 6-значних чисел з хоча б однією парною цифрою дорівнює 884 375.
| Параметр | Значення |
|---|---|
| Кількість усіх можливих 6-значних чисел | 900 000 |
| Кількість 6-значних чисел, в яких всі цифри непарні | 15 625 |
| Кількість 6-значних чисел з хоча б однією парною цифрою | 884 375 |