Рішення системи лінійних рівнянь може мати різну кількість рішень: одне, нескінченно багато або не мати рішень зовсім. Як визначити кількість рішень в конкретній системі?
Для цього необхідно проаналізувати коефіцієнти перед змінними в рівняннях системи. У нашому випадку, розглянемо систему рівнянь 2x + y = 7 і 2y - 3 = 0.
Перше рівняння має два учасники: змінні x і y, з коефіцієнтами 2 і 1 відповідно. Друге рівняння має лише змінну y, з коефіцієнтом 2. Якщо подумати логічно, можна помітити, що перше рівняння описує пряму, а друге - горизонтальну пряму.
Таким чином, як видно з графічного представлення системи рівнянь, графіки даних прямих перетинаються в точці x=2, y=3. Отже, система зазначених рівнянь має одне рішення і є спільною.
Як дізнатися число рішень системи рівнянь 2x + y = 7 і 2Y - 3 = 0 без рішення
В даному випадку, система рівнянь 2x + y = 7 і 2y - 3 = 0 являє собою пару прямих на площині. Перше рівняння задає пряму, яка має похилий коефіцієнт 2 і проходить через точку (0, 7), а друге рівняння задає горизонтальну пряму, яка проходить через точку (0, 3/2).
Якщо ці дві прямі перетинаються в одній точці, то система має єдине рішення. Якщо прямі паралельні один одному і не перетинаються, система не має рішень. І, нарешті, якщо прямі збігаються і мають нескінченно багато спільних точок, то система має нескінченну кількість рішень.
Виходячи з цієї інформації, можна побачити, що пряма, задана рівнянням 2x + y = 7, ніколи не може бути паралельна прямій, заданої рівнянням 2y - 3 = 0. Вони не можуть перетнутися або збігтися один з одним. Таким чином, система рівнянь не має рішень.
Рівняння виду A * x + B * y = C і D * x + E * y = F
Якщо рівняння має вигляд A*x + b*y = c і D*x + E * y = F, то така система рівнянь може мати три варіанти рішення: єдине рішення, нескінченна кількість рішень або відсутність рішень.
1. Якщо коефіцієнти A, B, D і E не дорівнюють нулю і визначник матриці системи дорівнює ненульовому значенню, то система має єдине рішення. У цьому випадку застосовуються правила методу Крамера або інших методів вирішення систем рівнянь.
2. Якщо коефіцієнти A, B, D і E дорівнюють нулю, а вільні члени C і F також дорівнюють нулю, то система має нескінченну кількість рішень. У такому випадку всі значення x і y задовольняють системі рівнянь, і її графічне представлення є прямою.
3. Якщо коефіцієнти A, B, D і E дорівнюють нулю, а хоча б один з вільних членів C і F Не дорівнює нулю, то система не має рішень. У цьому випадку графіки двох рівнянь не перетинаються і є паралельними прямими.
Якщо відомо, що D = 0, E = 0 і F ≠ 0, то система набуває вигляду A*x + B*y = C і 0 = F. Така система, де одне з рівнянь не містить змінних x і y, не має рішень. Прикладом такого рівняння може бути 2x + y = 7 і 0 = 5.
Важливо пам'ятати, що аналіз коефіцієнтів і вільних членів дозволяє визначити кількість рішень в системі рівнянь виду A*x + B*y = C і D*x + E * y = F. Використовуючи різні методи вирішення, можна знайти точне значення рішень або встановити їх відсутність.
Критерій рівності творів A * E і B * D
Нехай дана система рівнянь:
| 2x + y | = | 7 | (1) |
| 2y - 3 | = | 0 | (2) |
Розглянемо матрицю системи:
Обчислимо добуток A * E і B * D:
| A*E | = | (2)*(2) - (1)*(0) | = | 4 |
| B*D | = | (2)*(7) - (1)*(3) | = | 11 |
Якщо A * E ≠ B * D, то система рівнянь має єдине рішення.
Якщо A*E = B * D ≠ 0, то система рівнянь не має рішень.
Якщо A * E = B * D = 0, то система рівнянь має нескінченне число рішень.
Застосуємо критерій рівності творів A * E і B * D до нашої системи рівнянь:
Так як A * E ≠ B * D, то система рівнянь 2x + y = 7 і 2y - 3 = 0 без рішення.
Якщо A * E Не дорівнює B * D, то система має рівно одне рішення
Рівняння можна записати в матричній формі:
[2 1] [x] = [7]
[0 2] [y] = [3]
де [2 1] і [0 2] - матриці коефіцієнтів, [x] і [y] - стовпці змінних, а [7] і [3] - стовпці вільних членів.
Визначник матриці коефіцієнтів обчислюється як A * E-B * D.
Підставляючи значення з системи, отримуємо визначник:
A*E - B*D = (2*2) - (0*1) = 4 - 0 = 4
Якщо A*E Не дорівнює B * d, в даному випадку 4 Не дорівнює 0, то система має рівно одне рішення.
Таким чином, для цієї системи рівнянь можна досить впевнено сказати, що вона має рівно одне рішення.
Коли A * E дорівнює B * D, перевіряємо рівність творів C * E і B * F
Коли добуток коефіцієнтів A і E дорівнює добутку коефіцієнтів B і D (тобто A*E = B*D), система рівнянь має нескінченну кількість рішень або рішення, яке є променем. У такому випадку, ми повинні перевірити рівність добутку коефіцієнтів C і E з добутком коефіцієнтів b і F (C*E = B*F).
Якщо C * E дорівнює B * F, то система має нескінченну кількість рішень або рішення у вигляді променя. В іншому випадку, система не має рішень.
Застосовуючи це до нашої початкової системи рівнянь 2x + y = 7 і 2y - 3 = 0, ми можемо побачити, що A = 2, b = 1, c = 7, D = 0, E = 2 і F = 3. Підставимо значення в наші формули і перевіримо рівність:
(2*2) = (1*0) => 4 = 0 (нерівність)
Таким чином, можна зробити висновок, що система рівнянь має непорожню множину рішень або нескінченну кількість рішень.
Якщо C * E Не дорівнює B * F, система не має рішень
У даній системі рівнянь, у першого рівняння коефіцієнти перед змінними x і y рівні 2 і 1, відповідно (C = 2, E = 1), а в другому рівнянні -2 і 3 (b = -2, F = 3). Виходячи з цього, можемо обчислити значення C*E і B*F.
Так як умова C*E ≠ B*F виконано (-6 ≠ 2), то система рівнянь 2x + y = 7 і 2y - 3 = 0 не має рішень.
Це свідчить про те, що дані рівняння задають дві паралельні прямі на площині, які ніколи не перетинаються і не мають точок перетину.