Правильні багатокутники-це фігури, у яких всі сторони і всі кути рівні один одному. Вони мають багато застосувань у математиці, геометрії, архітектурі та інших галузях. Часто виникає необхідність знайти координати вершин правильного багатокутника, якщо відомий один з його кутів. У цій статті ми розглянемо докладну інструкцію, як це зробити.
Першим кроком є визначення кількості вершин і кутів у правильному багатокутнику. Наприклад, правильний трикутник має три вершини і три кути, правильний чотирикутник - чотири вершини і чотири кути, і так далі. Позначимо кількість вершин як n.
Потім, визначимо кут, відомий нам. Нехай це буде кут а.для деяких правильних багатокутників, таких як трикутник або прямокутник, відомий лише один кут. В цьому випадку, додаткові кути можна обчислити, розділивши 360 градусів на кількість вершин n. Наприклад, якщо відомий кут трикутника рівний 60 градусам, то кожен кут буде дорівнює 120 градусам (60° = 180° / 3).
Отже, за умови, що відомий кут однієї вершини правильного багатокутника, ми можемо використовувати Геометричні та тригонометричні формули для знаходження координат РЕШТИ вершин. Це може вимагати певного математичного розрахунку та використання тригонометричних функцій, таких як синус та косинус. Важливо пам'ятати, що вектори, що визначають сторони правильного багатокутника, є радіусами кола, вписаної в нього.
Отримання вершин правильного багатокутника
Для початку знайдіть центр багатокутника. Він буде точкою перетину всіх осей симетрії. Потім з центру проведіть лінії, радіуси, в кожну вершину багатокутника.
Крок 1: Знайдіть радіус.
Радіус-це відстань від центру багатокутника до будь-якої його вершини. Використовуючи тригонометрію, ви можете знайти його значення за формулою:
Радіус = довжина сторони / (2 * sin (180 / кількість сторін))
Крок 2: Знайдіть кут.
Кут-це значення між двома радіусами, що спираються на одну і ту ж вершину багатокутника. Він може бути обчислений за формулою:
Кут = (180 * (кількість сторін - 2)) / Кількість сторін
Крок 3: Знайдіть координати вершин.
Для кожної вершини можна знайти її координати за допомогою полярної системи координат. У полярних координатах кожна вершина задається радіусом і кутом.
Координата x = центр_х + радіус * cos ( кут)
Координата y = центр_у + радіус * sin (кут)
Повторіть ці кроки для кожної вершини багатокутника, використовуючи різні значення кута для кожної вершини, щоб отримати повне розташування всіх вершин.
Тепер ви знаєте, як знайти вершини правильного багатокутника по відомому кутку. Не забудьте вказати кількість сторін і значення кута для правильної окружності.
Відомий кут і радіус
Якщо у вас відомі кут і радіус правильного багатокутника, то ви можете обчислити координати його вершин за допомогою формули:
Координата по осі x:
x = радіус * cos (кут)
Координата по осі y:
y = радіус * sin (кут)
Для знаходження всіх вершин багатокутника необхідно застосувати цю формулу для кожного кута багатокутника, починаючи з першого кута.
При обчисленнях кути повинні бути в радіанах. Якщо вам дано кут в градусах, необхідно перетворити його в радіани:
Кут у радіанах = кут у градусах * (π / 180)
Де π-це число Пі (наближено 3,14159).
Наприклад, якщо у вас є правильний шестикутник з радіусом 5 і кутом 60 градусів, то для кожного кута обчислюємо координати:
Кут в радіанах = 60 * (π / 180) ≈ 1.047
Координати першої вершини:
x = 5 * cos(1.047) ≈ 2.5
y = 5 * sin(1.047) ≈ 4.33
Аналогічно для інших кутів багатокутника можна обчислити їх координати і отримати повний опис фігури.
Елементарні обчислення
Для знаходження вершин правильного багатокутника по відомому кутку необхідно виконати кілька елементарних обчислень. Для початку визначимося з формулою.
Формула для знаходження вершин правильного багатокутника по відомому кутку:
- Кут між будь-якими двома вершинами правильного багатокутника дорівнює 360 градусів, оскільки сума всіх кутів всередині багатокутника дорівнює 360 градусів.
- Кут між кожною вершиною та центром багатокутника дорівнює відомому куту.
- Кількість вершин багатокутника дорівнює кількості сторін, а також кількості кутів всередині багатокутника.
Тепер, знаючи ці формули, ми можемо приступити до елементарних обчислень для знаходження вершин правильного багатокутника.
- Визначте відомий кут багатокутника.
- Обчисліть кількість вершин багатокутника, поділивши 360 на відомий кут.
- Визначте значення кожного кута багатокутника, поділивши 360 на кількість вершин багатокутника.
- Знайдіть координати вершин багатокутника, використовуючи знайдене значення кожного кута та радіус багатокутника.
- Побудуйте правильний багатокутник, з'єднуючи вершини між собою.
Тепер ви знаєте, як виконати елементарні обчислення для знаходження вершин правильного багатокутника по відомому кутку. Дотримуючись цієї Інструкції, ви зможете впевнено вирішувати подібні завдання.
Знаходження координат вершин через тригонометрію
Якщо відомий кут між будь-якими двома сусідніми вершинами у правильному багатокутнику, ми можемо використовувати тригонометричні функції для пошуку координат РЕШТИ вершин.
Для початку, нам необхідно визначити радіус описаної окружності навколо багатокутника. Це відстань від центру кола до будь-якої його вершини.
Потім ми можемо використовувати наступні формули для пошуку координат вершин:
| Вершина | X-координата | Y-координата |
|---|---|---|
| A | R * cos(α) | R * sin(α) |
| B | * * * * * (***+(2 * * * / Кількість вершин)) | * * * * * (***+(2 * * * / Кількість вершин)) |
| C | < Br > * < br > * < br > * * * ( 2 * /Кількість вершин)) < br > | < Br > * < br > * < br > * * * ( 2 * /Кількість вершин)) < br > |
| . | . | . |
| Вершина | R * cos (α + (ca - у вердіні-1)*(2π / cole-у вердіні)) | R * sin (α + (ca - на вердіні - 1)*(2π / cole-у вердіні)) |
Тут R-радіус описаного кола, α-кут між сусідніми вершинами в радіанах, і кількість вершин-кількість вершин в багатокутнику.
Використовуючи ці формули, ви зможете знайти координати вершин правильного багатокутника, знаючи лише кут між двома сусідніми вершинами.
Варіант з використанням комплексних чисел
Для знаходження вершин правильного багатокутника, можна використовувати наступну формулу:
z = r * (cos(2π/n) + i * sin(2π/n))
де z-комплексне число, r-радіус описаного кола навколо багатокутника, n-кількість вершин багатокутника.
Почнемо з вибору значення радіуса описаної окружності. Радіус можна вибрати будь-яким зручним чином, в залежності від масштабу і розмірів майбутнього багатокутника. Потім, знайдемо значення кута (2π / n) для кожної вершини багатокутника.
Підставляючи знайдені значення в формулу, отримаємо комплексні числа, що представляють вершини багатокутника. Далі, можна перетворити комплексні числа в координати точок на площині, використовуючи дійсну частину числа як координату X і уявну частину числа як координату y.
Процес можна повторити для кожної вершини багатокутника, щоб отримати координати всіх вершин. Результатом буде набір точок, що представляють вершини правильного багатокутника.
Метод з використанням комплексних чисел дозволяє швидко і ефективно знаходити вершини правильного багатокутника, особливо в разі великого числа вершин. Цей метод також може бути застосований для знаходження вершин неправильного багатокутника, якщо відомі його кути і радіус описаного кола.
Практичні приклади
Все вищесказане може здатися складним, тому давайте розглянемо кілька практичних прикладів для кращого розуміння.
- Приклад 1: Нехай у нас є багатокутник з кутом 60°. Ми знаємо, що в правильному трикутнику всі кути рівні, тому у нас є відсутня інформація. Щоб знайти координати вершин трикутника, ми можемо використовувати формулу для пошуку точок на колі за допомогою тригонометричних функцій. Припустимо, центр кола знаходиться в точці (0, 0), радіус дорівнює 1. Використовуючи тригонометричні функції, ми можемо знайти значення x і y для кожного кута трикутника.
- Кут 1: x = cos(60°) = 0.5, y = sin(60°) = 0.866
- Кут 2: x = cos(180° - 60°) = -0.5, y = sin (180° - 60°) = 0.866
- Кут 3: x = cos(180° + 60°) = -0.5, y = sin (180° + 60°) = -0.866
Таким чином, координати вершин трикутника складають (0.5, 0.866), (-0.5, 0.866) і (-0.5, -0.866).
- Кут 1: x = cos (45°) = 0.707, y = sin (45°) = 0.707
- Кут 2: x = cos(180° - 45°) = -0.707, y = sin (180° - 45°) = 0.707
- Кут 3: x = cos(180° + 45°) = -0.707, y = sin(180° + 45°) = -0.707
- Кут 4: x = cos(360° - 45°) = 0.707, y = sin (360° - 45°) = -0.707
Таким чином, координати вершин багатокутника складають (0.707, 0.707), (-0.707, 0.707), (-0.707, -0.707) і (0.707, -0.707).
Завдяки цим прикладам ви можете легко знаходити координати вершин правильних багатокутників при відомому куті.