У геометрії бісектриса-це лінія, яка ділить кут на дві рівні частини. У трикутнику бісектриса проводиться з вершини до протилежної сторони і ділить цю сторону на дві рівні відрізки. Бісектриси також мають властивість перетинатися в одній точці, яка називається центром бісектриси.
Коли нам відома бісектриса трикутника, ми можемо використовувати цю інформацію для знаходження кута трикутника. Для цього нам знадобиться знання про те, що бісектриса ділить протилежну сторону на дві рівні частини. Ми можемо використовувати цю властивість для пошуку кута, який відповідає бісектрисі.
Для того щоб знайти кут трикутника, ми можемо скористатися теоремою синусів або косинусів. Спочатку ми знаходимо відношення довжини однієї зі сторін, прилеглої до шуканого кутку, до довжини протилежної сторони. Потім ми знаходимо зворотне значення тангенса цього відношення і отримуємо шуканий кут. Цей кут дорівнюватиме половині кута, утвореного бісектрисою та відповідною стороною трикутника.
Визначення трикутника та бісектриси
Бісектриса трикутника-це пряма лінія, яка ділить кут трикутника навпіл, розділяючи його на два рівні кути. Бісектриса проходить через вершину кута і ділить протилежну сторону на дві рівні частини.
Бісектриса може бути внутрішньою або зовнішньою по відношенню до трикутника. Внутрішня бісектриса проходить через вершину кута і ділить протилежну сторону на дві рівні частини. Зовнішня бісектриса також проходить через вершину кута, але продовжує свій шлях за межі трикутника.
Бісектриси трикутника мають кілька цікавих властивостей. Наприклад, точка перетину всіх трьох бісектрис трикутника називається центром вписаного кола. Ця окружність стосується всіх сторін трикутника.
Вивчення бісектрис трикутника дозволяє отримати інформацію про його кутах і сторонах. Наприклад, якщо відомі довжини сторін трикутника, то за допомогою бісектрис можна знайти кути трикутника.
Значення бісектриси в трикутнику
Бісектриса має кілька важливих властивостей, які можуть бути використані для вирішення задач в геометрії:
| Властивість | Опис |
| Довжина | Довжина бісектриси залежить від довжин сторін трикутника і може бути знайдена за допомогою формули Брахмагупти: |
| бісектриса = 2 * √(a * b * p * (p - c)) / (a + b) | |
| Кут | Відомо, що бісектриса ділить відповідний кут на два рівних кута. А значить, її значення можна висловити через довжини сторін трикутника за допомогою наступної формули: |
| бісектриса = 2 * a * b * cos(α / 2) / (a + b) |
Знаючи довжину бісектриси і інші параметри трикутника, можна знаходити значення кутів або довжину сторін за допомогою цих формул.
Геометричні властивості бісектриси
Бісектриса має ряд важливих геометричних властивостей:
1. Бісектриса є бісектрисою внутрішнього кута трикутника. Вона ділить цей кут на два рівних кута.
2. Бісектриса внутрішнього кута трикутника рівновіддалена від двох сторін трикутника. Тобто відстань від бісектриси до кожної зі сторін дорівнює.
3. Точка перетину бісектриси з протилежною стороною називається точкою бісектриси або точкою внутрішньої бісектриси. Вона ділить цю сторону трикутника пропорційно іншим двом сторонам.
4. Бісектриси трьох кутів трикутника перетинаються в одній точці, яка називається центром бісектрис трикутника або точкою бісектрій. Це важлива властивість дозволяє використовувати бісектриси для побудови трикутника і знаходження його центру.
Ознайомившись з геометричними властивостями бісектриси, можна ефективно використовувати її при вирішенні завдань на побудову і знаходження кутів трикутника.
Кути трикутника, що стосуються бісектриси
Перша властивість бісектриси полягає в тому, що вона ділить протилежну сторону на дві відрізки пропорційно довжині суміжних сторін трикутника. Таким чином, якщо сторони трикутника рівні a, b і c, а бісектриса, що виходить з вершини кута a, ділить протилежну сторону на відрізки p і q, то виконується наступна пропорція:
a / p = b / q = c / (p + q)
За допомогою даної пропорції ми можемо знайти довжини відрізків, на які бісектриса ділить протилежну сторону.
Друге властивість бісектриси пов'язано з знаходженням кута, що відноситься до бісектриси. Якщо ми знаємо довжини сторін трикутника і довжину відрізків, на які бісектриса ділить протилежну сторону, то ми можемо знайти значення кута шляхом використання теореми косинусів.
cos(A/2) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c)
Де A / 2 - половина кута a, b і c - довжини суміжних сторін трикутника, a-Довжина протилежної сторони.
Таким чином, маючи в розпорядженні формули і властивості бісектриси, можна знаходити довжини відрізків, на які вона ділить протилежну сторону, а також знаходити значення кута, що відноситься до бісектриси.
Формула знаходження кута при відомій бісектрисі
У трикутнику, якщо відома довжина бісектриси і дві сторони, можна знайти величину кута при підставі трикутника за допомогою наступної формули:
Кут = 2 * arctg (sqrt ((p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) / (a * b * c)))
- a, b, c - довжини сторін трикутника
- p - напівпериметр трикутника (p = (a + b + c) / 2)
- arctg - арктангенс, функція знаходження арктангенса від числа
- sqrt - квадратний корінь
Використовуючи дану формулу, ви можете знайти значення кута при підставі трикутника, якщо відомі довжини бісектриси і дві сторони трикутника.
Приклад: Для трикутника зі сторонами a = 5, b = 7, c = 8 і бісектрисою довжиною 4.2, кут при підставі буде дорівнює:
Кут = 2 * arctg (sqrt((7.0 * (7.0 - 5.0) * (7.0 - 8.0) * (7.0 - 5.0)) / (5.0 * 7.0 * 8.0))) ≈ 58.91 градусів
Таким чином, кут при підставі трикутника дорівнює приблизно 58.91 градусів.
Приклади задач по знаходженню кута з використанням бісектриси
Приклад 1:
У трикутнику ABC бісектриса кута BCD ділить сторону BC на відрізки BD і CD, причому BD = 6 см, CD = 4 см.знайдіть кут BCD.
За теоремою бісектриси, відношення довжин відрізків, на які вона ділить сторону трикутника, дорівнює відношенню синусів відповідних суміжних кутів. Таким чином, ми можемо написати:
Тепер ми можемо використовувати теорему синусів для пошуку кута BCD:
sin(BCD) = BD/AB = 6/(1.5 * AC) = 4/AC
Отже, щоб знайти Кут BCD, нам потрібно знайти значення арксинуса відношення 4 до змінного струму.
Приклад 2:
У трикутнику ABC бісектриса кута BAC ділить сторону AC на відрізки AD і DC, причому AD = 5 см, DC = 7 см.знайдіть кут bac.
Аналогічно попередньому прикладу, можемо скористатися теоремою бісектриси:
Тепер скористаємося теоремою синусів:
sin(BAC) = AD/AB = 5/(5 * BC/7) = 7/BC
Щоб знайти Кут BAC, нам потрібно знайти значення арксинуса відношення 7 до BC.
Це лише два приклади задач по знаходженню кута з використанням бісектриси. У кожному конкретному випадку потрібно скласти рівняння на основі теореми бісектриси і потім застосувати теорему синусів або іншу відповідну теорему для знаходження потрібного кута.
Відеоуроки з визначення кута з використанням бісектриси
Нижче наведено кілька корисних відеоуроків, які допоможуть зрозуміти та застосувати концепцію бісектриси при визначенні кута.
- Відеоурок #1: Визначення бісектриси кута у цьому відеоуроці ви дізнаєтеся, як визначити бісектрису кута з використанням ручки і лінійки. Викладач демонструє крок за кроком процес побудови бісектриси і пояснює, як це допомагає визначити кут.
- Відеоурок #2: вимірювання кута з використанням бісектриси у цьому уроці ви навчитеся вимірювати кути з використанням бісектриси за допомогою градусника або універсального кутоміра. Викладач пояснює різні методи вимірювання кутів і демонструє, як точно визначити міру кута за допомогою бісектриси.
- Відеоурок #3: практичні приклади з використанням бісектриси у цьому уроці ви будете вирішувати практичні приклади, які вимагають використання бісектриси для визначення кута. Викладач запропонує вам кілька завдань різного рівня складності і покаже, як застосувати знання про бісектрисі для їх вирішення.
Вивчення визначення кута за допомогою бісектриси дозволить вам глибше зрозуміти геометрію трикутників та інших фігур. Дивіться відеоуроки, практикуйтеся і стаєте майстром у визначенні кутів!