Похідна функції - це одна з найважливіших концепцій в математиці, яка широко застосовується у фізиці, економіці, та інших науках. Вона дозволяє визначити, як швидко змінюється значення функції в залежності від зміни аргументу. Знаходження похідної дозволяє знайти дотичну до графіка функції і визначити екстремуми функції.
Існує кілька методів для знаходження похідної функції. Один з найпростіших і часто використовуваних – застосування алгоритму диференціювання за правилами. Для цього потрібно знати основні формули отримання похідної для різних типів функцій.
Наприклад, похідної функції \[f(x)=x^n\], де \[n\] - ціле число, є твір \[n\] на \[x^\]. Постійна функція завжди має похідну, рівну нулю. А якщо похідна функції менше нуля, то графік функції убуває на відповідній ділянці.
Що таке похідна функції
Похідна функції позначається символом f'(x) або dy/dx. Вона являє собою значення межі відношення збільшення функції до збільшення аргументу, коли останнє прагне до нуля. Формально, похідна функції визначається як межа вираження:
f'(x) = lim(h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h
Геометричний сенс похідної функції полягає у визначенні кутового коефіцієнта дотичної до графіка функції в кожній точці. Якщо похідна функції позитивна, це означає, що графік функції зростає в даній точці, а при негативній похідній функції графік убуває. Нуль похідної функції вказує на екстремум-максимум або мінімум функції.
Обчислення похідної функції можна здійснити за допомогою різних методів, включаючи правила диференціювання, такі як правило похідної суми, похідної добутку та похідної складної функції. Ці методи дозволяють знаходити похідні для різних типів функцій, включаючи поліноми, тригонометричні функції, логарифми та експоненціальні функції.
Вивчення похідної функції дозволяє вирішувати безліч завдань у фізиці, економіці, інженерії та інших областях, пов'язаних з аналізом і оптимізацією процесів. Похідна функції також знаходить застосування в чисельних методах розв'язування рівнянь, апроксимації функцій та моделюванні.
Формули для знаходження похідної
Нижче наведені основні формули для знаходження похідної:
| Тип функції | Формула похідної |
|---|---|
| Константа | f'(x) = 0 |
| Степенева функція | f'(x) = n*x^(n-1) |
| Експоненційна функція | f'(x) = a^x*ln(a) |
| Логарифмічна функція | f'(x) = 1/(x*ln(a)) |
| Тригонометрична функція | f'(x) = cos(x) |
| Обернена функція | f'(x) = 1/f'(f^-1(x)) |
| Сума або різниця функцій | f'(x) = f1'(x) ± f2'(x) |
| Твір функцій | f'(x) = f1'(x)*g(x) + f1(x)*g'(x) |
| ПРИВАТНЕ двох функцій | f'(x) = (f1'(x)*g(x) - f1(x)*g'(x))/(g(x))^2 |
| Ланцюгове правило | f'(x) = f1'(g(x))*g'(x) |
Ці формули дозволяють знайти похідну для більшості функцій, які зустрічаються в математиці. Існують також складні функції, для яких потрібні додаткові методи та правила.
Важливо знати ці формули і вміти їх застосовувати, щоб успішно вирішувати завдання по знаходженню похідної функції.
Формула похідної статечної функції
Формула похідної степеневої функції з показником ступеня n виглядає наступним чином:
де f'(x) - похідна функції, n - показник степеня, a - коефіцієнт перед змінною, x - аргумент функції.
Похідна статечної функції дозволяє знайти швидкість зміни функції в кожній точці графіка. Крім того, вона дозволяє визначити особливі точки такі як екстремуми і точки перегину.
Дана функція f(x) = 2x^3. Щоб знайти похідну цієї функції, ми можемо використовувати формулу похідної функції потужності.
Таким чином, похідна функції f(x) = 2x^3 рівний f'(x) = 6x^2.
Формула похідної суми функцій
Похідну суми двох або більше функцій можна знайти за допомогою формули:
| (f + g)' = f' + g' |
де f і g - функції, а f' і g' - їх похідні відповідно.
Для обчислення похідної суми функцій необхідно знайти похідні кожної з функцій окремо і потім скласти їх. Таким чином, похідна суми може бути знайдена як сума похідних доданкових функцій.
Наприклад, нехай ми маємо функції f(x) = 2x^2 і g (x) = 3x + 1. Щоб знайти похідну суми цих функцій, спочатку потрібно знайти їх похідні:
| f'(x) = 4x |
| g'(x) = 3 |
Потім, використовуючи формулу похідної суми функцій, ми можемо знайти похідну суми:
| (f + g)' = f' + g' |
| (2x^2 + 3x + 1)' = 4x + 3 |
Таким чином, похідна суми функцій 2x^2 + 3x + 1 буде дорівнює 4x + 3.
Формула похідної суми функцій дозволяє нам знаходити похідні більш складних функцій, що складаються з декількох доданків. Вона є основною складовою у вивченні диференціального числення і знаходить своє застосування в різних областях науки і техніки.
Формула похідної добутку функцій
Похідну добутку двох функцій можна знайти за допомогою формули похідної добутку:
(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
Де f(x) і g(x) - дві функції, а f'(x) і g'(x) - їх похідні відповідно.
Застосування цієї формули може бути корисним при обчисленні похідної складних функцій, представлених у вигляді добутку функцій.
Дана функція f (x) = (x^2 + 3x) (2x - 1). Знайдемо її похідну.
Застосовуючи формулу похідної твори, отримаємо:
f'(x) = (2x + 3)(2x - 1) + (x^2 + 3x)(2) = 4x^2 - 2x + 6x - 3 + 2x^2 + 6x = 6x^2 + 10x - 3.
Таким чином, похідна функції f(x) дорівнює 6x^2 + 10x - 3.
Приклади рішення
- Знайдемо похідну функції f(x) = 3x^2. Використовуємо правило диференціювання статечної функції: якщо у нас є функція f(x) = x^n, то її похідна дорівнює f'(x) = nx^ . Застосовуючи це правило до нашої функції, отримаємо: f'(x) = 2 \cdot 3x^ = 6x Таким чином, похідна функції f(x) = 3x^2 рівний f'(x) = 6x.
- Розглянемо функцію f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 1. Для знаходження похідної функції, ми можемо диференціювати кожен член окремо.
- Диференціюємо член 5x^3:
- Використовуємо правило диференціювання статечної функції і отримаємо:
d(5x^3)/dx = 3 \cdot 5x^ = 15x^2 - Диференціюємо член -2x^2:
- Також використовуємо правило диференціювання статечної функції:
d(-2x^2)/dx = -2 \cdot 2x^ = -4x - Диференціюємо член 7x:
- Так як тут немає статечної функції, застосовуємо правило диференціювання лінійної функції:
d(7x)/dx = 7 - Диференціюємо член -1:
- Константа має похідну рівну нулю:
d(-1)/dx = 0
Збираємо отримані частини разом і отримуємо похідну функції:
f'(x) = 15x^2 - 4x + 7
Приклад знаходження похідної статечної функції
Розглянемо приклад похідної функції f(x) = x 3 :
| Порядок | Похідна |
|---|---|
| 1 | 3x 2 |
В даному прикладі ми використовували правило похідної для статечної функції з позитивним цілим показником. Загальна формула цього правила виглядає наступним чином:
| Порядок | Похідна |
|---|---|
| 1 | f'(x) = n * x n-1 |
Таким чином, похідна статечної функції з позитивним цілим показником дорівнює n * x n-1 , де n - показник ступеня функції, а x - змінна, за якою диференціюється функція.
Приклад знаходження похідної суми функцій
Припустимо, що у нас є дві функції, $f(x)$ і $g(x)$, і ми хочемо знайти похідну їх суми.
Для початку, знайдемо похідну функції $F (x)$. Нехай $F (x) = 3x^2 + 2x$. Щоб знайти похідну, візьмемо похідну від кожного доданка окремо:
| $\frac(3x^2)$ | = | $6x$ |
| $\frac(2x)$ | = | $2$ |
Тепер знайдемо похідну функції $g (x)$. Нехай $g (x) = 4x - 1$. Аналогічно, візьмемо похідну від кожного доданка:
| $\frac(4x)$ | = | $4$ |
| $\frac(-1)$ | = | $0$ |
Тепер ми можемо знайти похідну суми функцій $F(x) + g(x)$. Похідна суми дорівнює сумі похідних, тому:
| $\frac(f(x) + g(x))$ | = | $\frac(3x^2 + 2x) + \frac(4x - 1)$ |
| = | $6x + 2 + 4$ | |
| = | $6x + 6$ |
Таким чином, похідна суми функцій $F(x) + g(x)$ дорівнює $6x + 6$.