Будівництво геометричних фігур є одним з захопливих занять, яке допомагає розвивати логічне мислення та візуальне сприйняття. Однією з таких фігур є вписаний п’ятикутник, який можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки.
Вписаний п’ятикутник – це п’ятикутник, всі вершини якого лежать на колі. Але як же його побудувати? Все дуже просто! Для початку візьміть точку A і проведіть через неї діаметр кола. Цей діаметр буде слугувати стороною п’ятикутника.
Далі за допомогою лінійки відкладіть на діаметрі від точки A два рівних відрізки AB і AC. Тепер візьміть циркуль і з його допомогою проведіть дуги кола з центрами в точках B і C. Отримаються ще дві точки перетворення кіл з діаметром.
Тим же чином виконайте всі залишкові відрізки, поки всі п’ять вершин п’ятикутника не ляжуть на коло. І ось, ваш вписаний п’ятикутник готовий!Тепер ви можете вивчати його властивості та знаходити цікаві співвідношення між довжинами сторін і кутами цієї дивовижної фігури.Навіщо і як будувати вписаний п'ятикутник?Один з основних способів побудови вписаного п'ятикутника - використання циркуля. Для початку необхідно побудувати окружність із заданим радіусом. Потім, за допомогою циркуля, потрібно визначити п'ять точок, які будуть розташовані на окружності. Для цього, за допомогою циркуля, позначаються п'ять рівних дуг на окружності. Потім проводяться відрізки між цими п'ятьма точками, і в результаті виходить вписаний п'ятикутник.Розміри та співвідношення сторін вписаного п'ятикутника можуть бути різними залежно від заданих параметрів окружності. Однак у цієї фігури є особливі властивості, які роблять її цікавою для дослідження. Наприклад, сума всіх кутів усередині вписаного п'ятикутника завжди дорівнюватиме 540 градусам. Це властивість може бути використана для доказу інших математичних теорем і розв'язання задач.Будівництво вписаного п’ятикутника також може бути використано в архітектурі та дизайні для створення унікальних форм і композицій. Вписаний п’ятикутник часто використовується в науковій та технічній промисловості для створення складних геометричних структур і форм. Він також може слугувати джерелом натхнення для художників і дизайнерів.Зрозуміло, за допомогою циркуляДля побудови вписаного п’ятикутника спочатку потрібно намалювати окружність з допомогою циркуля. Далі, використовуючи циркуль, потрібно вибрати будь-яку точку на окружності та провести радіус до центру окружності, отримуючи внутрішній кут. Потім, використовуючи цей внутрішній кут, будуються решта чотирьох кутів п’ятикутника.Для проведення радіуса циркуль дозволяє вибрати точку на окружності і без помилок перемістити радіус на іншіточки на окружності. Точки перетворення радіусів дозволяють побудувати кути п'ятикутника з високою точністю, забезпечуючи ідеальний вписаний п'ятикутник.Важливо зазначити, що виконання цього процесу вимагає акуратності та точності. Необхідно впевнитися, що використовуваний циркуль налаштований правильно і його радіус не перевищує радіус окружності. Перевірка та корекція інструментів перед початком роботи гарантують успішне побудування вписаного п'ятикутника за допомогою циркуля.Дізнаємося про основні кроки та інструментиДля побудови вписаного п'ятикутника в окружність за допомогою циркуля, необхідно виконати наступні кроки:Почніть з побудови окружності за допомогою циркуля. Визначте її центр і радіус.За допомогою лінійки проведіть одну з діагоналей п'ятикутника, яка проходитиме через центр окружності.Встановіть циркуль в точці перетвореннядіагоналі та окружності, потім проведіть дугу окружності, тримаючи циркуль в тій же точці.Зафіксуйте циркуль у точці, де дуга перетинає діагональ, і проведіть дугу в протилежному напрямку.Повторіть кроки 3 і 4 для решти вершин п'ятикутника.Для користувачів циркуля необхідно мати засоби для вимірювання довжин і кутів, такі як лінійка і транспортир. Також важливо мати ескіз п'ятикутника, щоб легше виконати всі кроки.Математичні основи вписаного п'ятикутникаПо-перше, всередині окружності, на якій буде розташовуватися п'ятикутник, знаходимо будь-яку точку і позначаємо її центром окружності..Потім з'єднуємо цю точку з будь-якою іншою точкою на окружності й отримуємо радіус окружності..По-друге, для вписаного п'ятикутника всі вершини повинні знаходитися на однаковій відстані від центру.окружності. Ця відстань дорівнює радіусу окружності. При цьому кути між лініями, що з'єднують вершини п'ятикутника з центром окружності, повинні бути рівними. Таким чином, для побудови вписаного п'ятикутника необхідно знати радіус окружності і знаходити вершини п'ятикутника на однаковій відстані від центру окружності. Вибираємо центральну точку окружності. Щоб вибрати центральну точку окружності, необхідно виконати наступні кроки: Намалюйте дві перпендикулярні прямі через центр майбутньої окружності. За допомогою циркуля відзначте дві точки перетворення цих прямих. З'єднайте ці дві точки прямою, вона проходитиме через центральну точку окружності. Вибрана центральна точка буде точкою, відносно якої будуть проводитись всі інші побудови для вписаного п'ятикутника.Приклад вибору центральної точки окружності:Визначаємо відстань до кожної вершиною п'ятикутникаЩоб побудувати вписаний п'ятикутник, нам потрібно визначити відстань від центру окружності до кожної вершини п'ятикутника. Для цього ми можемо скористатися геометричною формулою.Уявімо, що у нас є центр окружності в точціO.Ми хочемо знайти відстань від центру окружності до вершиниAп'ятикутника.Для цього ми проведемо лінію, що з'єднує центр окружності з вершиною п'ятикутника. Позначимо точку перетину лінії та окружності якB. Також, позначимо відстань від центру окружності до точкиBякr,а відстань від центру окружності до вершиниAякd.За теоремою Піфагора можна записати наступне співвідношення:
Знаючи, що радіус кола дорівнює r, а що діаметр кола дорівнює двом радіусам, можна записати:
Підставляючи це значення в попереднє співвідношення, отримуємо:
Спростивши праву частину рівняння, отримаємо:
Далі, віднімаючи r2 з обох частин рівняння отримуємо:
Щоб визначити відстань dВитягнемо квадратний корінь з обох частин рівняння:
Таким чином, ми можемо виразити відстань від центру кола до вершини п'ятикутника як рівну √(3р2 ).
Аналогічно ми можемо визначити відстані від центру кола до інших вершин п'ятикутника. Ці відстані дорівнюватимуть √(3р2) для кожної вершини п'ятикутника.
Ми працюємо з цими відстанями за допомогою циркуля та лінійкиПобудова вписаного п’ятикутника в окружність включає в себе використання циркуля та лінійки для визначення кількох важливих відстаней.В якості першого кроку необхідно визначити радіус окружності, в яку буде вписаний п’ятикутник. Для цього можна використовувати лінійку, вимірюючи відстань від центру окружності до будь-якої точки на її межі.Далі, для побудови вершин п’ятикутника, необхідно визначити відстань між цими вершинами та центром окружності. За допомогою циркуля можна виміряти відстань від центру окружності до однієї з вершин, а потім створити два кола з радіусом, рівним цій відстані, і центрами в точках, де лінійка потрапляє на межу окружності. Перетин цих двох кіл буде визначати одну з вершин п’ятикутника.Аналогічно, використовуючи циркуль та лінійку, можна побудувати залишені чотири.вершини п'ятикутника.Таким чином, робота з відстанями за допомогою циркуля та лінійки дозволяє побудувати вписаний п'ятикутник в окружність з високою точністю та ефективністю.Покриваючи всі вершини та зводячи всі відстаніДля побудови вписаного п'ятикутника в окружність за допомогою циркуля, ми починаємо з визначення центру окружності, який буде слугувати початком наших дій. Потім, за допомогою циркуля, ми позначаємо на окружності п'ять точок, які будуть вершинами нашого п'ятикутника.Далі, використовуючи циркуль і починаючи з першої вершини п'ятикутника, ми проводимо дугу до другої вершини, потім від другої вершини до третьої і так далі, поки не закриємо п'ятикутник дугою від останньої вершини до першої.Після цього, за допомогою циркуля та лінійки, ми зводимо всі відстані між вершинами п'ятикутника. Починаючи з першої вершини, ми проводимо пряму лінію до другої вершини, тоді до третьої, четвертої і, нарешті, до п'ятої вершини, щоб остаточно закрити наш п'ятикутник.
Таким чином, ми покриваємо всі вершини п'ятикутника і зводимо всі відстані між ними, що дозволяє нам побудувати вписаний п'ятикутник в окружність за допомогою циркуля.
| Кроки побудови вписаного п'ятикутника в окружність за допомогою циркуля | |
| Крок 1: | Відзначаємо центр окружності, який буде слугувати початком наших дій. |
| Крок 2: | За допомогою циркуля відзначаємо п'ять точок на окружності, які будуть вершинами п'ятикутника. |
| Крок 3: | За допомогою циркуля проводимо дугу від першої вершини до другої, потім від другої до третьої і так далі, щоб закрити п'ятикутник. |
| Крок 4: | За допомогою циркуля і лінійки проводимо пряму лінію від першої вершини до другої, потім до третьої, четвертої і, нарешті, до п'ятої вершини, щоб остаточнозакрити п’ятикутник. |
Перетворимо п’ятикутник на вписаний п’ятикутник в окружність
Для того щоб побудувати вписаний п’ятикутник в окружність за допомогою циркуля, потрібно виконати наступні кроки:
- На чистому аркуші паперу намалюйте окружність за допомогою циркуля і визначте її центр.
- Знайдіть середину одного з боків п’ятикутника і позначте її на папері.
- За допомогою циркуля виміряйте відстань від середини боку до центру окружності і занесіть цю відстань на папір.
- З центру окружності проведіть лінію до середини боку п’ятикутника.
- Точка перетину цієї лінії з окружністю буде однією з вершин вписаного п’ятикутника.
- Повторіть кроки 2-5 для кожного боку п’ятикутника, знаходячи вершини і проводячи лінії до центру окружності.
- Після того як всі вершини будуть знайдені і з’єднані лініями, отримаємо вписаний п’ятикутник.в окружність.Ось приклад результату, який ви отримаєте:Тепер, коли ви знаєте, як побудувати вписаний п’ятикутник в окружність за допомогою компаса, ви можете використовувати цей метод для створення різних геометричних фігур і покращення своїх навичок у галузі математики.