Розглянемо завдання про те, скількома способами можна розділити 6 осіб на дві команди. Для вирішення цього завдання ми можемо використовувати комбінаторику.
Отже, є 6 осіб. Нам потрібно розділити їх на дві команди, причому кожна команда повинна складатися з різної кількості осіб.
Для початку, виберемо, скільки людина буде в першій команді. Ми можемо вибрати від 1 до 5 осіб, так як кожна команда повинна складатися хоча б з одного учасника. Отже, у нас буде 5 варіантів вибору кількості людей у першій команді.
Після вибору кількості осіб у першій команді, залишається тільки один варіант - учасники, що залишилися, підуть у другу команду. Таким чином, на кожну вибрану кількість осіб у першій команді, у нас буде тільки один варіант поділу на дві команди.
Разом, у нас буде 5 способів розділити 6 осіб на дві команди.
Загальний підхід
Для визначення кількості способів, якими 6 осіб можуть складати дві команди, можна використовувати комбінаторику.
В даному випадку нам необхідно розділити 6 осіб на дві команди, при цьому порядок складання команд не має значення. Тобто команда а з учасниками [1, 3, 5] і команда Б з учасниками [2, 4, 6] вважаються однією і тією ж командою.
Для вирішення цього завдання можна скористатися формулою поєднання без повторень:
де Cn k - кількість поєднань з n елементів по k елементів.
У нашому випадку n = 6 (Загальна кількість учасників) і k = 3 (Кількість учасників у кожній команді, оскільки кожна команда повинна складатися з 3 осіб).
Підставляючи значення в формулу, отримуємо:
Таким чином, 6 осіб можуть складати дві команди 20 способами.
| Команда А | Команда Б |
|---|---|
| [1, 2, 3] | [4, 5, 6] |
| [1, 2, 4] | [3, 5, 6] |
| [1, 2, 5] | [3, 4, 6] |
| [1, 2, 6] | [3, 4, 5] |
| [1, 3, 4] | [2, 5, 6] |
| [1, 3, 5] | [2, 4, 6] |
| [1, 3, 6] | [2, 4, 5] |
| [1, 4, 5] | [2, 3, 6] |
| [1, 4, 6] | [2, 3, 5] |
| [1, 5, 6] | [2, 3, 4] |
| [2, 3, 4] | [1, 5, 6] |
| [2, 3, 5] | [1, 4, 6] |
| [2, 3, 6] | [1, 4, 5] |
| [2, 4, 5] | [1, 3, 6] |
| [2, 4, 6] | [1, 3, 5] |
| [2, 5, 6] | [1, 3, 4] |
| [3, 4, 5] | [1, 2, 6] |
| [3, 4, 6] | [1, 2, 5] |
| [3, 5, 6] | [1, 2, 4] |
| [4, 5, 6] | [1, 2, 3] |
Поєднання без повторень
Для того щоб знайти кількість способів комбінування або складання команд, ми можемо використовувати формулу поєднання. Формула поєднання без повторень виглядає наступним чином:
Де C (n, k) - це кількість способів вибрати k елементів з n елементів без повторень, а ! позначає Факторіал числа.
У нашому випадку, у нас 6 осіб і ми хочемо розділити їх на дві команди, тому k=2 і N=6. Підставивши значення у формулу, ми можемо обчислити кількість способів:
C(6, 2) = 6! / (2! * (6-2)!) = 6! / (2! * 4!) = 6 * 5 / (2 * 1) = 15
Таким чином, існує 15 способів розділити 6 осіб на дві команди. Кожна команда може складатися з різної кількості людей, наприклад, 3 і 3, 4 і 2, або 5 і 1.
Формула числа поєднань
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
- n - кількість елементів у множині (в даному випадку кількість осіб)
- k - кількість елементів, які потрібно вибрати (в даному випадку кількість команд)
- ! - символ факторіалу
Наприклад, щоб визначити число способів розділити 6 осіб на дві команди, потрібно скористатися формулою числа поєднань:
C(6, 2) = 6! / (2!(6-2)!) = 6! / (2!4!) = (6*5*4*3*2*1) / ((2*1)*(4*3*2*1)) = 15
Таким чином, існує 15 різних способів скласти дві команди з 6 осіб.
Варіації числа поєднань
Для початку, потрібно визначити, скільки способів можна вибрати 2 людини з 6. Для цього застосовують формулу поєднань:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), де n - Загальна кількість елементів, k - кількість елементів у комбінації.
У цьому випадку n = 6, k = 2:
C(6, 2) = 6! / (2! * (6-2)!) = 6! / (2! * 4!) = (6 * 5 * 4!) / (2! * 4!) = (6 * 5) / 2! = 30 / 2 = 15.
Таким чином, існує 15 способів вибрати дві команди з 6 осіб.
Будуємо таблицю для наочності:
| Команда 1 | Команда 2 |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 1 | 3 |
| 1 | 4 |
| 1 | 5 |
| 1 | 6 |
| 2 | 3 |
| 2 | 4 |
| 2 | 5 |
| 2 | 6 |
| 3 | 4 |
| 3 | 5 |
| 3 | 6 |
| 4 | 5 |
| 4 | 6 |
| 5 | 6 |
Таким чином, вибір двох команд з 6 осіб може бути здійснений 15 різними способами.
Підрахунок числа поєднань вручну
Для вирішення завдання про підрахунок числа способів складання двох команд з шести чоловік, можна скористатися формулою поєднань.
Формула поєднань має вигляд:
де n-Загальна кількість елементів у вибірці, а m - Кількість елементів, які потрібно вибрати або розділити на команди.
У нашому випадку, n = 6 і m = 2. Підставивши значення в формулу, отримаємо:
далі проведемо обчислення:
- 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720,
- 2! = 2 * 1 = 2,
- 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24.
Со6 2 = 720 / (2 * 24) = 720 / 48 = 15.
Таким чином, існує 15 різних способів, за допомогою яких 6 людей можуть складати дві команди.
Приклад підрахунку числа поєднань
Щоб знайти кількість способів, якими 6 осіб можуть складати дві команди, ми можемо використовувати формулу поєднань.
Сполучення застосовуються, коли порядок елементів не має значення. В даному випадку, ми не враховуємо, в якій команді знаходиться та чи інша людина, тому використовуємо поєднання.
Формула для обчислення числа поєднань виглядає наступним чином:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!),
де n-Загальна кількість елементів (в даному випадку 6), k-кількість елементів у кожному поєднанні (в даному випадку 2), і"!"позначає Факторіал числа.
Підставимо значення в формулу:
Тепер можна обчислити число поєднань:
C(6, 2) = 6! / (2! * (6 - 2)!) = 6! / (2! * 4!) = (6 * 5 * 4!)/(2! * 4!) = (6 * 5)/(2 * 1) = 15.
Таким чином, існує 15 способів скласти дві команди з 6 осіб.