Коли ми стикаємося з системами рівнянь, першим кроком завжди є спроба знайти рішення для кожного рівняння окремо, а потім перевірити їх сумісність. В даному випадку, ми маємо систему з двох рівнянь: х^2 + у^2 = 1 і у = Х. будемо розглядати їх послідовно, починаючи з рівняння у = Х.
Рівняння у = х задає пряму, яка проходить через початок координат з кутом нахилу 45 градусів. Якщо ми розглянемо графічне представлення цього рівняння, то побачимо, що воно перетинає коло з центром на початку координат і радіусом 1 в двох точках: (1, 1) і (-1, -1).
Таким чином, рішенням системи рівнянь х^2 + у^2 = 1, у = х будуть дві точки: (1, 1) і (-1, -1). Вони задовольняють обидва рівняння системи і є єдиними рішеннями.
Рівняння х^2 + у^2 = 1 і у = х
Розглянемо рівняння x^2 + y^2 = 1, а також рівняння у = х.
Рівняння у = х являє собою рівняння прямої, що проходить через початок координат з нахилом 45 градусів.
Рівняння x^2 + y^2 = 1 є рівнянням кола радіусом 1 і центром на початку координат.
Необхідно вирішити це систему рівнянь. Підставимо рівняння прямої у = х рівняння кола x^2 + y^2 = 1:
Таким чином, система рівнянь має два рішення: (x = √(1/2), y = √(1/2)) і (x = -√(1/2), y = -√(1/2)).
Формулювання завдання
Необхідно вирішити систему рівнянь:
x 2 + y 2 = 1
y = x
Потрібно визначити, скільки існує рішень даної системи рівнянь.
Аналіз завдання
Дана задача полягає у вирішенні системи рівнянь, що складається з двох рівнянь:
1. Рівняння кола: x^2 + y^2 = 1
2. Рівняння прямої: y = x
Необхідно визначити, скільки рішень має дана система і знайти значення координат точок перетину кола і прямої.
Система рівнянь задає графік кола з центром на початку координат і радіусом 1, а також пряму, що проходить через початок координат і утворює кут в 45 градусів з позитивним напрямком осі OX.
- Окружність і пряма перетинаються в двох точках: (1, 1) та (-1, -1), оскільки пряма y = x перетинає окружність у квадрантах I та III.
- Таким чином, система рівнянь має два рішення.
Рішення даної системи рівнянь можна також отримати, підставивши рівняння прямої в рівняння кола:
Таким чином, координати точок перетину кола і прямої рівні: (±√(1/2), ±√(1/2)).
Таблиця з рішеннями даної системи рівнянь:
| x | y |
|---|---|
| √(1/2) | √(1/2) |
| -√(1/2) | -√(1/2) |
Геометричне представлення рівняння
Система рівнянь x^2 + y^2 = 1 і y = x описує безліч точок на площині, які задовольняють обом рівнянням одночасно. Для розуміння геометричного представлення цієї системи рівнянь можна розглянути графіки функцій.
Перше рівняння, x^2 + y^2 = 1, являє собою рівняння кола з центром на початку координат і радіусом 1. Це означає, що всі точки на цьому колі знаходяться на відстані 1 від початку координат.
Друге рівняння, y = x, являє собою рівняння прямої, яка проходить через початок координат і утворює кут 45 градусів з позитивним напрямком осі x.
Зображуючи графіки функцій на площині, ми бачимо, що ці графіки мають дві спільні точки перетину: (0,0) та (1,1). Таким чином, система рівнянь має рівно два рішення.
Умови рішення
Для вирішення системи рівнянь х^2 + у^2 = 1 і у = х необхідно підставити значення у замість х в першому рівнянні:
| Рівняння | Підстановка | Результат |
|---|---|---|
| x^2 + y^2 = 1 | x^2 + (x)^2 = 1 | 2x^2 = 1 |
Отримане рівняння 2x^2 = 1 має єдине рішення:
Таким чином, система рівнянь має єдине рішення (х, у) = (√(1/2), √(1/2)) або (х, у) = (-√(1/2), -√(1/2)).
Вивчення графіка рівняння
Для вивчення графіка рівняння х^2 + у^2 = 1, у = х, необхідно розглянути відповідні координатні осі і точки, що задовольняють даними рівнянням. Оскільки друге рівняння являє собою пряму лінію, що проходить через початок координат (0, 0) і утворює кут 45 градусів з позитивним напрямком осі Ох, воно збігається з діагоналлю одиничного квадрата.
Графік першого рівняння х^2 + у^2 = 1 являє собою коло радіусом 1 з центром на початку координат. Це коло містить точки на відстані 1 від початку координат і складається з усіх можливих (x, y), які задовольняють даному рівнянню.
Оскільки друге рівняння y = x також проходить через початок координат і збігається з діагоналлю одиничного квадрата, воно перетинає окружність x^2 + y^2 = 1 у двох точках, а саме (-1, -1) та (1, 1).
Отже, система рівнянь х^2 + у^2 = 1, у = х має два рішення: (-1, -1) і (1, 1).
Інтерпретація чисельних значень
Система рівнянь, що складається з рівняння x^2 + y^2 = 1 та рівняння y = x, має цікаві чисельні значення.
Перше рівняння являє собою рівняння кола з центром на початку координат і радіусом 1. Воно описує всі точки в площині (x, y), які знаходяться на відстані 1 від початку координат.
Друге рівняння є лінійним рівнянням, що представляє пряму лінію, яка проходить через початок координат (0, 0) з нахилом 45 градусів. Вона містить всі точки в площині (x, y), для яких x і y рівні.
Система рівнянь x^2 + y^2 = 1 і y = X має два рішення: точки (0, 0) і (1, 1). Обидва ці рішення являють собою точки перетину кола і прямої лінії.
Ці рішення можна проілюструвати на графіку, де окружність і пряма лінія перетинаються в точках (0, 0) і (1, 1).
Узагальнення результатів
У даній статті ми розглянули систему рівнянь x^2 + y^2 = 1 і y = x. Шляхом підстановки виразу y = x в перше рівняння ми отримали квадратне рівняння x^2 + x^2 = 1, яке дало єдине рішення x = ±1/√2.
Виходячи зі значення x, ми також можемо визначити значення y, оскільки y = x. Таким чином, ми маємо два рішення системи рівнянь: (1/√2, 1/√2) і (-1/√2, -1/√2).
Таким чином, система рівнянь має рівно два рішення, які є точками на одиничному колі і лежать на прямій y = x.
У даній статті ми розглянули систему рівнянь, що складається з рівняння кола і лінії. Нашою метою було знайти кількість рішень даної системи.
Ми почали з написання рівнянь:
- Рівняння кола: x^2 + y^2 = 1
- Рівняння лінії: y = x
Потім ми вирішили систему шляхом підстановки одного рівняння в інше. Підставивши y = x у рівняння кола, отримали:
Таким чином, система має два рішення: (x, y) = (√(1/2), √(1/2)) і (х, у) = (-√(1/2), -√(1/2)), де х = у.