Для вирішення рівнянь і визначення числа їх рішень часто використовується графічний метод. За допомогою малюнків 38 і 40 можна визначити, скільки рішень має дане рівняння.
Малюнок 38 являє собою графік рівняння з лінійною функцією. Якщо пряма перетинає вісь абсцис тільки в одній точці, то рівняння має рівно одне рішення. Якщо пряма не перетинає вісь абсцис, то рівняння не має рішень. А якщо пряма перетинає вісь абсцис в двох точках, то рівняння має нескінченну кількість рішень.
Малюнок 40 відображає графік рівняння з квадратичною функцією. Якщо парабола перетинає вісь абсцис тільки в одній точці, то рівняння має одне рішення. Якщо парабола не перетинає вісь абсцис, то рівняння не має рішень. А якщо парабола перетинає вісь абсцис в двох точках, то рівняння має два рішення.
Визначення кількості рішень рівняння
У математиці кількість розв'язків рівняння може бути різною залежно від його типу та коефіцієнтів. Для визначення числа рішень зазвичай використовують графічний і аналітичний підходи.
Графічний підхід заснований на побудові графіка рівняння і визначенні точок його перетину з віссю абсцис. При цьому число перетинів може дорівнювати нулю (якщо графік не перетинає вісь абсцис), одному (якщо графік стосується осі абсцис в одній точці) або нескінченному (якщо графік збігається з віссю абсцис).
Аналітичний підхід використовує різні методи алгебри для визначення кількості рішень. Наприклад, для рівняння з однією змінною можна використовувати метод дискримінанта квадратного тричлена. Якщо дискримінант позитивний, то рівняння має два різних дійсних рішення. Якщо дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має рівно одне дійсне рішення. Якщо дискримінант негативний, то рівняння не має дійсних рішень.
Для рівнянь з кількома змінними та ступенями вище другого визначення кількості рішень може бути складнішим і вимагати застосування інших методів, таких як метод Ейлера або принцип дії та реакції.
Малюнок 38: визначення кількості рішень рівняння
Якщо графік функції перетинає вісь абсцис в одній точці, то рівняння має одне рішення. Це означає, що існує лише одне значення змінної x, при якому функція дорівнює нулю.
Якщо графік функції не перетинає вісь абсцис, то рівняння не має рішень. У цьому випадку немає такого значення змінної x, при якому функція дорівнює нулю.
Якщо графік функції перетинає вісь абсцис більше одного разу, то рівняння має кілька рішень. Це означає, що існує кілька значень змінної x, при яких функція дорівнює нулю.
Малюнки 38 і 40 допомагають наочно уявити, як кількість перетинів графіка функції з віссю абсцис відповідає кількості рішень рівняння. Використання таких графічних уявлень дозволяє легко визначити число рішень рівняння без необхідності вирішувати його аналітично.
Аналіз рисунка 38
Щоб визначити число рішень рівняння, необхідно проаналізувати, скільки точок перетину графіка функції з віссю абсцис є.
Якщо графік функції перетинає вісь абсцис в точці або точках, рівняння має відповідну кількість рішень.
Якщо графік функції не перетинає вісь абсцис, то рівняння не має рішень.
На малюнку 38 видно, що графік функції перетинає вісь абсцис у двох точках. Отже, рівняння має два рішення.
Розбір малюнка 40
На малюнку 40 представлена крива, яка перетинає вісь OX в одній точці і вісь OY в іншій точці. Таким чином, рівняння, зображене на малюнку 40, має єдиний розв'язок.
Визначення кількості рішень на основі малюнка 40
Щоб визначити кількість рішень рівняння, необхідно проаналізувати положення графіка функції щодо осі X.якщо графік функції перетинає вісь X в одній точці, то у рівняння є одне рішення.
Якщо графік функції не перетинає вісь x, то рівняння не має рішень.
Якщо графік функції перетинає вісь X більше одного разу, то у рівняння є кілька рішень, кількість яких визначається кількістю перетинів графіка з віссю x.
Таким чином, малюнок 40 дозволяє визначити кількість рішень рівняння і полегшує аналіз рівнянь на основі графіків функцій.
| Графік функції на малюнку 40 |
Малюнок 40: аналіз кількості рішень рівняння
Якщо графік рівняння перетинає вісь абсцис тільки в одній точці, то рівняння має рівно одне рішення. Це означає, що знайдеться єдине значення змінної, при якому рівняння буде виконуватися.
Якщо графік перетинає вісь абсцис у двох різних точках, то рівняння має два рішення. Це означає, що знайдуться два різних значення змінної, при яких рівняння буде виконуватися.
У разі, коли графік не перетинає вісь абсцис, рівняння не має рішень. Це означає, що немає такого значення змінної, при якому рівняння буде виконуватися.
Аналіз кількості рішень рівняння може бути корисний при вирішенні задач, а також при вивченні властивостей і особливостей рівнянь різного типу.
Практичне застосування рисунків 38 і 40 при визначенні числа рішень
Малюнки 38 і 40 являють собою графіки функцій, які дозволяють наочно визначити число рішень рівняння. Ці малюнки особливо корисні при вирішенні рівнянь з однією змінною.
Використовуючи малюнок 38, можна визначити число рішень рівняння шляхом аналізу числа перетинів графіка функції з віссю абсцис. Якщо графік перетинає вісь абсцис один раз, то рівняння має одне рішення. Якщо графік перетинає вісь абсцис два рази, то рівняння має два рішення. Якщо графік не перетинає вісь абсцис, то рівняння не має рішень.
Малюнок 40 являє собою графік функції, на якому відображена крива, задана рівнянням. Цей малюнок дозволяє визначити число рішень рівняння шляхом аналізу симетрії кривої щодо осі абсцис. Якщо крива симетрична щодо осі абсцис, то рівняння має два рішення. Якщо крива не симетрична щодо осі абсцис, то рівняння має одне рішення.
Застосування рисунків 38 і 40 дозволяє візуально визначити Числове значення розв'язків рівняння, що робить процес розв'язання більш доступним і зрозумілим. Малюнки допомагають побачити особливості графіків функцій і використовувати їх в якості інструменту для швидкого визначення числа рішень рівняння.