Коли ми дивимося на циферблат годинника, наш погляд відразу біжить до положення стрілок. Ми бачимо, як вони плавно рухаються по колу, вказуючи на те, скільки часу пройшло або залишилося до якоїсь події. Але не завжди ми замислюємося про те, скільки разів на день ці стрілки утворюють пряму лінію. Цікаво, скільки разів це відбувається і чому така інформація може бути корисною?
Щоб відповісти на це питання, давайте розберемося, як рухаються стрілки годинника. Годинникова стрілка з кожною годиною робить повний оборот на циферблаті, а хвилинна стрілка робить повний оборот за 60 хвилин. Таким чином, за кожну годину ці стрілки утворюють деякий кут. Нам потрібно знайти момент, коли цей кут буде дорівнює нулю, тобто коли стрілки будуть знаходитися на одній прямій лінії.
Точну кількість таких моментів в добі можна знайти, розглянувши всі 24 годинних інтервалу від 0 до 24 годин. Уявіть, що хвилинна стрілка є точкою,а годинна стрілка-лінією, що з'єднує цю точку з центром циферблата. На проміжках від 0 до 12 годин ця лінія буде видно зовні циферблата, а на проміжках від 12 до 24 годин - всередині циферблата.
Скільки разів на добу годинна і хвилинна стрілки утворюють пряму лінію: точна кількість
Ці моменти знаходяться приблизно о 12 годині ночі та о 12 годині дня. І хоча пряма лінія утворюється дуже короткий час, вона є унікальним феноменом, який продовжує привертати увагу людей. Адже подивитися на момент, коли годинна і хвилинна стрілки перетинаються в прямому кутку, можна всього двічі на добу.
Викладаємо точну кількість
Вельми несподівано, але правильну відповідь на це питання становить цілих 22. Викладати точну кількість таких моментів може виявитися дещо важко, але за допомогою деяких трюків, ви зможете легко визначити, коли стрілки утворюють пряму лінію.
Розглянемо це більш детально:
- Перетин о 12:00
- Перетин о 1:05
- Перетин о 2:10
- Перетин о 3:15
- Перетин о 4:20
- Перетин о 5:25
- Перетин о 6: 30
- Перетин о 7:35
- Перетин о 8: 40
- Перетин о 9: 45
- Перетин о 10: 50
- Перетин об 11: 55
- Перетин о 13: 50
- Перетин о 14: 55
- Перетин о 15:00
- Перетин о 16:05
- Перетин о 17: 10
- Перетин о 18: 15
- Перетин о 19:20
- Перетин о 20: 25
- Перетин о 21: 30
- Перетин о 22: 35
- Перетин о 23: 40
Тепер, коли ви знаєте точну кількість моментів, коли годинна і хвилинна стрілки утворюють пряму лінію, ви можете стати справжнім майстром вгадування часу на годиннику!
Вивчаємо пряму лінію, утворену стрілками
Для відповіді на це питання нам потрібно розглянути рух стрілок на циферблаті годинника. Спочатку, коли годинник показує 12:00, стрілки утворюють точний прямий кут.
Після цього хвилинна стрілка починає рухатися, а годинна стрілка залишається на місці до тих пір, поки хвилинна стрілка не проходить повз неї. Коли хвилинна стрілка проходить повз годинникову стрілку,вони знову утворюють прямий кут.
Таким чином, щоб визначити, скільки разів на добу годинна і хвилинна стрілки утворюють пряму лінію, нам потрібно з'ясувати, скільки разів хвилинна стрілка проходить повз годинникової стрілки після півночі.
Зауважимо, що хвилинна стрілка робить повний оборот по циферблату за 60 хвилин, в той час як годинникова стрілка робить повний оборот за 12 годин. Таким чином, хвилинна стрілка проходить повз годинну 11 разів за кожен повний оборот годинникової стрілки.
Значить, за 24 години хвилинна стрілка проходить повз годинникової стрілки 22 рази (11 разів за полудень і 11 разів за опівночі).
Відповідь: годинна і хвилинна стрілки утворюють пряму лінію 22 рази на добу.
Дізнаємося кількість повних прямих ліній
Для того щоб обчислити кількість повних прямих ліній, які утворюють годинна і хвилинна стрілки двічі на добу, нам необхідно застосувати математичну формулу.
З кожною хвилиною годинна і хвилинна стрілки наближаються один до одного і створюють нову пряму лінію. Використовуючи формулу комбінаторики, знайдемо кількість можливих прямих ліній:
n = (12 - 1) * (60 - 1) = 11 * 59 = 649
Таким чином, за добу годинна і хвилинна стрілки утворюють 649 повних прямих ліній.
Як рахувати? Ділимо на годину і на хвилини!
Для того щоб визначити, скільки разів на добу годинна і хвилинна стрілки утворюють пряму лінію, нам необхідно розбити добу на години і хвилини.
У добі всього 24 години. Розглянемо кожну частину окремо:
Годинникова стрілка
Годинникова стрілка здійснює повний оборот за 12 годин. Значить, за 1 годину вона проходить кут, рівний 360°/12 = 30°.
Таким чином, через кожен п'ятдесятихвилинний інтервал годинна стрілка збігається з хвилинною стрілкою і утворює пряму лінію.
Хвилинна стрілка
Хвилинна стрілка робить повний оборот за 60 хвилин. Значить, за 1 хвилину вона проходить кут, рівний 360°/60 = 6°.
Таким чином, хвилинна стрілка робить повний оборот і утворює пряму лінію з годинниковою стрілкою 1 раз на годину.
Тепер, щоб знайти точну кількість моментів, коли годинна і хвилинна стрілки утворюють пряму лінію, необхідно поділити добу на 60 хвилинних інтервалів (так як хвилинна стрілка утворює пряму лінію 1 раз на годину) і помножити на 12 (так як годинна стрілка збігається з хвилинною стрілкою через кожні 5 хвилин).
| Інтервал | Кількість разів |
|---|---|
| 60 хвилинних інтервалів | 60 |
| 12 годинних інтервалів | 12 |
Разом, годинна і хвилинна стрілки утворюють пряму лінію точно 720 разів на добу.
Чи існує аналогія з максимальною кількістю прямих?
Існує цікава аналогія між максимальною кількістю прямих, утворених годинниковою і хвилинною стрілками, і концепцією максимальної кількості прямих в геометрії.
В геометрії, існує відоме правило, що через будь-які дві різні точки можна провести тільки одну пряму. Отже, максимальна кількість прямих, яку можна провести через n точок, дорівнює N (N-1) / 2.
Таким чином, якби ми розглядали годинну та хвилинну руки як дві точки на циферблаті, можна було б припустити, що максимальна кількість прямих, що утворюються ними, дорівнює 2(2-1)/2 = 1. Однак, це припущення невірно.
Насправді, годинна і хвилинна стрілки утворюють пряму лінію двічі за кожне коло годин, тобто за 12 годин. Таким чином, за добу годинна і хвилинна стрілки утворюють пряму 24 рази.
Така аналогія показує, що математика та геометрія можуть бути застосовними в різних сферах нашого повсякденного життя, від вимірювання часу до абстрактних понять в геометрії.
Отримуємо точну відповідь на питання
Для того щоб дізнатися, скільки разів на добу годинна і хвилинна стрілки утворюють пряму лінію, нам необхідно розглянути два випадки: один для звичайних годин і інший для годин з поділками на 12 частин.
1. Для звичайних годин:
Годинна і хвилинна стрілки сходяться в одній точці 11 разів на добу:
- О 12: 00
- О 1:05
- О 2:11
- О 3:16
- О 4:22
- О 5:27
- О 6:33
- О 7:38
- О 8: 44
- О 9:49
- О 10: 55
2. Для годин з поділками на 12 частин:
Годинна і хвилинна стрілки сходяться в одній точці 22 рази на добу:
- О 12: 00
- О 1:05
- О 2:10
- О 3:15
- О 4:20
- О 5:25
- О 6: 30
- О 7:35
- О 8: 40
- О 9: 45
- О 10: 50
- Об 11: 55
- О 13: 00
- О 14: 05
- О 15:10
- О 16:15
- О 17:20
- О 18:25
- О 19: 30
- О 20: 35
- О 21: 40
- О 22: 45
- О 23: 50
Таким чином, точна відповідь на питання становить 11 разів для звичайних годин і 22 рази для годин з поділами на 12 частин на добу.