Поняття площини і перпендикулярності дуже важливі в геометрії. Виникає природне запитання: скільки площин, перпендикулярних даній площині, можна провести через дану пряму?
Відповідь на це питання залежить від того, чи перетинається дана пряма з даною площиною чи ні. Якщо пряма не перетинає площину, то провести через неї площину, перпендикулярну даній, неможливо. В такому випадку кількість таких площин дорівнюватиме нулю.
Однак, якщо пряма перетинає площину, то через неї можна провести нескінченну кількість площин, перпендикулярних даній. Це пов'язано з тим, що при перетині прямої з площиною, виникає точка перетину, яка може переміщатися по прямій, при цьому зберігаючи свою перпендикулярність з площиною. Кожному положенню точки перетину буде відповідати Нова площина, перпендикулярна даній.
Що таке перпендикулярні площини?
Перпендикулярні площини мають багато застосувань у різних галузях науки та техніки. Наприклад, в геометрії вони використовуються для побудови тривимірних моделей та визначення відстаней та кутів. В архітектурі перпендикулярні площини допомагають створити стійку та симетричну конструкцію будівель.
Щоб провести площину, перпендикулярну даній площині і проходить через дану пряму, потрібно використовувати спеціальну геометричну процедуру. Ця процедура називається конструюванням перпендикулярній площині. В результаті виходить площина, яка перетинає вихідну площину в прямому куті і містить дану пряму.
Відповідь на питання скільки перпендикулярних площин можна провести через дану пряму залежить від того, скільки площин перпендикулярно даній площині можна провести. У просторі можливо провести нескінченну кількість перпендикулярних площин через дану пряму.
Скільки площин можна провести через дану пряму?
Однак, якщо ми розглянемо тривимірний простір, в якому знаходиться дана пряма, то можна провести нескінченну кількість площин через дану пряму, які будуть перпендикулярні один одному. Пряма буде віссю, навколо якої будуть обертатися площині.
- Нехай дана пряма проходить через початок координат (0, 0, 0) у тривимірному просторі. Тоді площина, що проходить через цю пряму і паралельна площині xy, матиме рівняння z = 0.
- Якщо дана пряма паралельна осі z, то будуть існувати нескінченна кількість площин, що проходять через дану пряму і перпендикулярних площині XY.
Як визначити кількість перпендикулярних площин?
Щоб визначити кількість площин, перпендикулярних даній площині і проходять через дану пряму, потрібно враховувати наступне.
Для початку, площини, перпендикулярні даній площині, мають спільну пряму перетину з цією площиною, яка називається лінією перетину. Для того щоб лінія перетину була прямою, вона повинна лежати в самих площинах перпендикулярних площин. Насправді перпендикулярні площини матимуть однакову лінію перетину.
У той же час, площини перпендикулярні даній площині також мають перетин з даної прямої. Ці точки перетину можуть бути різними в кожній площині.
Тому, кількість перпендикулярних площин, що проходять через дану пряму, буде визначатися кількістю площин, що перетинають дану пряму, і ліній перетину, загальних для цих площин.
Таким чином, кількість перпендикулярних площин дорівнюватиме кількості ліній перетину цих площин з даної прямої.
Приклад:
Припустимо, дана пряма перетинає п'ять площин і у кожних двох площин є одна загальна лінія перетину. Тоді кількість перпендикулярних площин дорівнюватиме чотирьом.
Приклад:
Використовуючи відомі дані, можна знайти нормальний вектор площини: $ \ vec = (2, -3, 4)$. Далі, використовуючи дану пряму і знайдений нормальний вектор, можна знайти рівняння площин:
$2(x - 1) - 3(y - (-1)) + 4(z - 2) = 0 \Rightarrow 2x - 3y + 4z = 5$
$2(x - 1) - 3(y - (-1)) + 4(z - 2) = t \Rightarrow 2x - 3y + 4z = 5 + t$
Таким чином, через дану пряму можна провести нескінченно багато площин, перпендикулярних даній площині.
Приклад 2: нехай дана площина задана рівнянням $3x + 4y - 2z = 6$, а дана пряма проходить через точку (2, -1, 3) і має направляючий вектор (-1, 2, 5). Аналогічно попередньому прикладу, необхідно знайти нормальний вектор ($\vec$) площини і використовувати його в рівнянні площини.
Обчислюємо нормальний вектор: $ \ \ vec = (3, 4, -2)$. Потім, використовуючи дану пряму і нормальний вектор, отримуємо рівняння площин:
$3(x - 2) + 4(y - (-1)) - 2(z - 3) = 0 \Rightarrow 3x + 4y - 2z = 10$
$3(x - 2) + 4(y - (-1)) - 2(z - 3) = t \Rightarrow 3x + 4y - 2z = 10 + t$
Таким чином, через дану пряму можна провести нескінченно багато площин, перпендикулярних даній площині.
Приклад 1
Припустимо, що дана площина задана рівнянням:
Ах + Ву + Сz + D = 0
де А, В і з - координати нормального вектора даної площини.
Нехай дана пряма проходить через точку М (x₁, y₁, z₁) і має направляючий вектор (l, m, n).
Якщо площина перпендикулярна даній прямій, то вектор нормалі N(A, B, C) цієї площини буде перпендикулярний вектору напрямку прямої.
Це означає, що скалярний добуток векторів N і (l, m, n) дорівнює нулю:
Знаючи координати направляючого вектора прямої, можна вирішити дане рівняння щодо координат нормального вектора площині і знайти можливі значення A, B і C.
Таким чином, через дану пряму можна провести нескінченну кількість площин, перпендикулярних даній площині. Кожна площина матиме свій нормальний вектор, який можна визначити задовольняє умові перпендикулярності.
Приклад 2
- x = 2t;
- y = 4 - t;
- z = 7 + 3t.
Знайдемо направляючий вектор прямий l:
- l: 2t, 4 - t, 7 + 3t
- l: (2, -1, 3).
Так як направляючий вектор прямої перпендикулярний площині α, то площина, що проходить через пряму l і перпендикулярна площині α, існує тільки в одному напрямку. Тобто через дану пряму можна провести тільки одну площину, яка буде перпендикулярна площині α.