Дроби-одна з основних математичних концепцій, яка часто виникає як при вирішенні простих арифметичних задач, так і при вирішенні більш складних математичних проблем. Можливість виконати зворотну операцію - перетворити десяткову в просту (нескоротну) - може відігравати вирішальну роль при виконанні різних завдань.
Особлива увага приділяється розгляду дробів з деякими особливими властивостями. У даній статті розглядається питання про кількість несократімих дробів з певним знаменником, а саме 145. Щоб відповісти на це питання, необхідно провести ряд математичних викладок.
Дріб називається нескоротим, якщо чисельник і знаменник не мають спільних дільників, крім одиниці. Значить, щоб визначити кількість несократімих дробів з знаменником 145, потрібно знайти кількість чисельників, які не мають спільних дільників з числом 145.
Скільки нескоротних дробів із знаменником 145?
Для того щоб визначити кількість нескоротних дробів із заданим знаменником, необхідно розглянути всі числа, менші за модулем цього знаменника, і перевірити їх на взаємну простоту з ним. Взаємно простими називають числа, що не мають спільних дільників, крім одиниці.
В даному випадку знаменник дорівнює 145. Знайдемо всі числа, менші за модулем 145:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . 143, 144
Для кожного з цих чисел перевіримо, чи є воно взаємно простим з 145. Якщо число і 145 не мають спільних дільників, то дріб з таким чисельником і знаменником буде несократимой. Якщо числа мають спільні дільники, то дріб можна скоротити.
Знайденими спільними дільниками з числом 145 можуть бути тільки числа, які є дільниками числа 145. Тому необхідно визначити всі дільники числа 145. Дільниками числа 145 є числа:
Також можна помітити, що 145 є добутком двох простих чисел: 5 і 29. Тому будь-яке число, що не ділиться на 5 і 29, буде взаємно простим з 145.
Таким чином, всі числа з розглянутого ряду, що не діляться на 5 і 29, будуть чисельниками несократімих дробів з знаменником 145. Для визначення кількості таких чисел можна скористатися арифметичною прогресією.
Зауважимо, що розглянутий ряд - це арифметична прогресія з першим членом рівним 1, кроком рівним 1 і останнім членом рівним 144. Для знаходження кількості чисел цієї прогресії, що не діляться на 5 і 29, можна скористатися формулою:
n = (a1 + an) / 2 * d - m
де n - кількість членів прогресії, що не діляться на 5 і 29, a1 - перший член прогресії, an - останній член прогресії, d - крок прогресії, m - Кількість членів прогресії, що діляться на 5 і 29.
В даному випадку a1 = 1, an = 144, d = 1. Знайдемо кількість членів прогресії, що діляться на 5: (144 - 4) / 5 + 1 = 29. Аналогічно знайдемо кількість членів прогресії, що діляться на 29: (144 - 29) / 29 + 1 = 5. Отримуємо m = 29 + 5 = 34.
Тепер можемо підставити значення в формулу: n = (1 + 144) / 2 * 1 - 34 = 1557.
Таким чином, існує 1557 нескоротних дробів із знаменником 145.
Методика розрахунку кількості несократімих дробів
Для розрахунку кількості несократімих дробів із заданим знаменником необхідно виконати наступні кроки:
Крок 1: Визначте число, до якого потрібно знайти всі нескоротні дроби. У цьому випадку це число 145, оскільки ми шукаємо нескоротні дроби з знаменником 145.
Крок 2: Розкладіть це число на прості множники. Для числа 145 можемо використовувати метод пробних поділок і отримати, що 145 = 5 * 29.
Крок 3: Обчисліть кількість нескоротних дробів із заданим знаменником, використовуючи отримані прості множники. Кількість нескоротних дробів можна знайти за формулою: (p-1) * (q - 1), де p і q-прості множники числа.
У нашому випадку, число 145 розкладається на прості множники 5 і 29, тому формула буде виглядати наступним чином: (5-1) * (29-1) = 4 * 28 = 112.
Таким чином, існує 112 нескоротних дробів із знаменником 145.
Як визначити кількість можливих нескоротних дробів
Для визначення кількості несократімих дробів із заданим знаменником необхідно виконати наступні кроки:
- Знайдіть усі прості числа, на які заданий знаменник ділиться без залишку.
- Розкладіть заданий знаменник на прості множники.
- Помножте всі прості множники на (1 - 1/p), де p-кожен простий множник.
- Помножте всі отримані значення в пункті 3.
Результатом буде кількість можливих нескоротних дробів із заданим знаменником.
Приклад розрахунку кількості нескоротних дробів із знаменником 145
Для розрахунку кількості несократімих дробів з знаменником 145, потрібно розглянути всі числа від 1 до 145 і перевірити їх на взаємну простоту з 145. Дріб вважається нескоротним, якщо чисельник і знаменник не мають спільних дільників, крім 1.
Таким чином, потрібно знайти всі числа, які є взаємно простими з 145.
| Чисельник | Знаменник | Нескоротний дріб? |
|---|---|---|
| 1 | 145 | Так |
| 2 | 145 | Так |
| 3 | 145 | Так |
| 4 | 145 | Ні |
| 5 | 145 | Так |
| 6 | 145 | Ні |
| 7 | 145 | Так |
| 8 | 145 | Ні |
| 9 | 145 | Так |
| 10 | 145 | Ні |
| 11 | 145 | Так |
| 12 | 145 | Так |
| 13 | 145 | Так |
| 14 | 145 | Ні |
| 15 | 145 | Ні |
| 16 | 145 | Ні |
| 17 | 145 | Так |
| 18 | 145 | Ні |
| 19 | 145 | Так |
| 20 | 145 | Ні |
| 21 | 145 | Так |
| 22 | 145 | Ні |
| 23 | 145 | Так |
| 24 | 145 | Так |
| 25 | 145 | Так |
| 26 | 145 | Ні |
| 27 | 145 | Так |
| 28 | 145 | Ні |
| 29 | 145 | Так |
| 30 | 145 | Ні |
| 31 | 145 | Так |
| 32 | 145 | Ні |
| 33 | 145 | Так |
| 34 | 145 | Ні |
| 35 | 145 | Ні |
| 36 | 145 | Ні |
| 37 | 145 | Так |
| 38 | 145 | Ні |
| 39 | 145 | Так |
| 40 | 145 | Ні |
| 41 | 145 | Так |
| 42 | 145 | Ні |
| 43 | 145 | Так |
| 44 | 145 | Ні |
| 45 | 145 | Ні |
| 46 | 145 | Ні |
| 47 | 145 | Так |
| 48 | 145 | Так |
| 49 | 145 | Так |
| 50 | 145 | Ні |
Отже, з представлених чисел, тільки тридцять дев'ять дробів з знаменником 145 є нескоротимыми.