Чотиризначні числа відіграють важливу роль у математиці та аналізі даних. Унікальність кожної цифри в числі надає йому певну величину і значимість. Однак, іноді виникає потреба в пошуку чисел якогось конкретного виду, наприклад, чисел без певної цифри.
У даній статті ми розглянемо питання: скільки ж існує чотиризначних чисел без цифри 3?
Розглянемо всі можливі варіанти. У кожному розряді може перебувати будь-яка цифра від 0 до 9, крім 3. Це означає, що в першому розряді може перебувати 9 будь - яких цифр, у другому - також 9 цифр, в третьому - 9 цифр, а в четвертому-знову 9 цифр. Таким чином, загальна кількість чотиризначних чисел без цифри 3 становить 9 * 9 * 9 * 9 = 6561.
Кількість чотиризначних чисел без цифри 3 в арабській нумерації
Чотиризначні числа без цифри 3 можна скласти, використовуючи залишилися 9 цифр: 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 і 9.
Розглянемо, скільки варіантів ми можемо отримати для кожного розряду числа:
- Для першого числа ми маємо 9 можливих цифр (усі, крім 3).
- Для другого розряду числа ми також маємо 9 можливих цифр.
- Для третього числа ми також маємо 9 можливих цифр.
- Для четвертого числа ми також маємо 9 можливих цифр.
Тепер, щоб знайти загальну кількість чотиризначних чисел без цифри 3, потрібно помножити кількість варіантів для кожного розряду: 9 * 9 * 9 * 9 = 6561.
Отже, всього існує 6561 чотиризначне число в арабській нумерації без цифри 3.
Залежність кількості чотиризначних чисел без цифри 3 від систем числення
Кількість чотиризначних чисел без цифри 3 залежить від системи числення. При використанні десяткової системи числення, де кожне число може містити цифри від 0 до 9, Кількість чотиризначних чисел без цифри 3 дорівнює 6561.
Однак, при переході до іншої системи числення, кількість чотиризначних чисел без цифри 3 змінюється. Наприклад, у двійковій системі числення, де кожне число може містити лише цифри 0 і 1, Кількість чотиризначних чисел без цифри 3 становить 15.
Для кожної системи числення з основою n можна визначити кількість чотиризначних чисел без цифри 3 за формулою:
| Система числення | Кількість чотиризначних чисел без цифри 3 |
|---|---|
| Десяткова (n = 10) | 6561 |
| Двійкова (n = 2) | 15 |
| Трійкова (n = 3) | 80 |
| Четверичная (n = 4) | 405 |
| Пятеричная (n = 5) | 1296 |
Таким чином, кількість чотиризначних чисел без цифри 3 в різних системах числення може значно відрізнятися. Це пов'язано з тим, що в кожній системі числення кількість можливих цифр обмежена підставою системи.
Арифметична прогресія чисел без цифри 3
Чотиризначні числа без цифри 3 складають цікаву арифметичну прогресію, в якій кожне наступне число отримується шляхом додавання одиниці до попереднього.
Наприклад, перше число в цій прогресії буде 1000, друге - 1001, третє - 1002 і так далі.
Такі числа легко можна підрахувати, використовуючи елементарні знання арифметики. Так як перше число дорівнює 1000, останнє число можна отримати, віднімаючи з 9999 кількість чисел, що містять цифру 3. Всього чотиризначних чисел без цифри 3 буде:
9000-кількість чисел, що містять цифру 3.
Отже, для визначення їх кількості нам необхідно обчислити кількість чисел, що містять цифру 3. Це можна зробити, використовуючи принцип комбінаторики та прості математичні операції. У цьому випадку ми враховуємо, що цифра 3 може займати першу, другу, третю або четверту позицію кожного з чисел.
Позначимо кількість тризначних чисел без цифри 3 Як k1. Очевидно, що k1 дорівнює кількості всіх тризначних чисел мінус кількість тризначних чисел, що містять цифру 3. Тобто k1 = 900 - k1_3, де k1_3 - кількість тризначних чисел, що містять цифру 3.
Аналогічно, позначимо кількість двозначних чисел без цифри 3 Як k2, кількість однозначних чисел без цифри 3 Як k3. Тоді:
де k1_3, k2_3, k3_3 - кількість двозначних, тризначних і чотиризначних чисел, що містять цифру 3 відповідно.
Тепер нам потрібно знайти значення k1_3, k2_3, k3_3. Очевидно, що:
Підставимо ці значення в рівняння:
k1 = 900 - 9 = 891,
Таким чином, кількість чотиризначних чисел без цифри 3 дорівнює 891. Всього таких чисел 891.
Кількість чотиризначних чисел з цифрою 3
Чотиризначні числа без цифри 3 можна отримати, замінивши цифру 3 на одну з решти 9 цифр (0-2, 4-9) на кожній позиції числа. Таким чином, кожна позиція може приймати 9 різних значень (виключаючи 3).
Враховуючи, що перша позиція не може бути нулем, підсумкова кількість чотиризначних чисел без цифри 3 дорівнює:
(9 можливих значень для першої позиції)*(9 можливих значень для другої позиції)*(9 можливих значень для третьої позиції) * (9 можливих значень для четвертої позиції) = 9^4 = 6561.
Таким чином, всього існує 6561 чотиризначне число без цифри 3.
Кількість чотиризначних чисел з двома цифрами 3
Чотиризначні числа без цифри 3 можна розглядати як два випадки: числа, в яких тільки одна цифра дорівнює 3, і числа, в яких дві цифри рівні 3.
Випадок 1: Числа, в яких тільки одна цифра дорівнює 3.
Для вибору першої цифри у нас 8 варіантів (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9), оскільки ми не можемо використовувати цифру 3. Для вибору другої, третьої і четвертої цифр у нас 9 варіантів (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9), так як ми можемо використовувати будь-яку цифру. За правилом твори, кількість чотиризначних чисел з однією цифрою 3 дорівнює 8 * 9 * 9 * 9 = 5832.
Випадок 2: Числа, в яких дві цифри рівні 3.
Для вибору першої цифри у нас 9 варіантів (1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9), оскільки ми не можемо використовувати цифри 0 і 3. Для вибору другої цифри у нас 3 варіанти (0, 1, 2), так як ми використовуємо цифру 3. Для вибору третьої і четвертої цифр у нас 9 варіантів (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9), так як ми можемо використовувати будь-яку цифру. За правилом твори, кількість чотиризначних чисел з двома цифрами 3 дорівнює 9 * 3 * 9 * 9 = 2187.
Загальна кількість чотиризначних чисел без цифри 3 дорівнює сумі кількості чисел з кожного випадку. Отже, всього таких чисел: 5832 + 2187 = 8025.
| Випадок | Кількість чисел |
|---|---|
| Тільки одна цифра 3 | 5832 |
| Дві цифри 3 | 2187 |
| Разом: | 8025 |
Кількість чотиризначних чисел, в яких хоча б одна цифра дорівнює 3
Щоб порахувати кількість чотиризначних чисел, в яких хоча б одна цифра дорівнює 3, нам потрібно врахувати кілька важливих моментів:
- Перша цифра числа не може бути 0, тому у нас є 9 варіантів для вибору першої цифри.
- Для решти трьох цифр ми можемо вибрати будь-які цифри від 0 до 9 (включно), виключаючи цифру 3.
Таким чином, загальна кількість чотиризначних чисел, в яких хоча б одна цифра дорівнює 3, дорівнює:
9 * 9 * 9 * 9 = 6561
Тобто, всього існує 6561 чотиризначних чисел, в яких хоча б одна цифра дорівнює 3.