Чотиризначні числа являють собою числа, в яких є чотири цифри. Питання про те, скільки таких чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4 і 5 і при цьому щоб вони ділилися на 4, має свою цікаву особливість.
Число, що ділиться на 4, має наступні особливості. Для того щоб число ділилося на 4, воно повинно бути кратно 4. З даного набору цифр, тільки число 4 є кратним 4. Тому одиниці, десятки і сотні в числі можуть бути будь-якими з цифр 1, 2, 3, 5, так як 4 не може бути на цих позиціях.
Таким чином, для визначення кількості чотиризначних чисел, що діляться на 4 і складених з цифр 1, 2, 3, 4 і 5, ми можемо варіювати тільки першу цифру - тисячі. Інші цифри можна вибирати будь-яким способом з решти цифр.
Варіанти складання чотиризначних чисел з цифр 12345, що діляться на 4
З цифр 1, 2, 3, 4 і 5 можна скласти чотиризначні числа, що діляться на 4. Для цього необхідно врахувати наступні правила:
- Чотиризначне число повинно починатися з дозволеної цифри (1, 2, 3, 4 або 5).
- Чотиризначне число має бути кратним 4, Що означає, що його останні дві цифри повинні утворити число, кратне 4.
Розглянемо кожну цифру і можливі варіанти для інших позицій числа:
- Якщо в якості першої цифри обрана цифра 1, то друга цифра повинна бути 2, 3 або 4, а для останніх двох цифр можливі варіанти: 12, 24, 32, 34.
- Якщо в якості першої цифри обрана цифра 2, то друга цифра повинна бути 1, 3 або 5, а для останніх двох цифр можливі варіанти: 12, 24, 32, 34, 52.
- Якщо в якості першої цифри обрана цифра 3, то друга цифра повинна бути 2 або 4, а для останніх двох цифр можливі варіанти: 12, 24, 32, 34.
- Якщо в якості першої цифри обрана цифра 4, то друга цифра повинна бути 1, 2, 3 або 5, а для останніх двох цифр можливі варіанти: 12, 24, 32, 34, 52.
- Якщо в якості першої цифри обрана цифра 5, то друга цифра повинна бути 2, а для останніх двох цифр можливі варіанти: 12, 24, 32, 34.
Таким чином, загальна кількість чотиризначних чисел, які можна скласти з цифр 12345 і діляться на 4, дорівнює 20.
Перша цифра є 1, 2 або 3
Щоб знайти кількість чотиризначних чисел, які діляться на 4 і мають першу цифру 1, 2 або 3, ми повинні розглянути всі можливі варіанти для решти трьох цифр.
Для першої цифри 1:
- Якщо друга цифра дорівнює 1, 2, 3 або 4, то залишається 5 можливих значень для третьої цифри і 5 для четвертої цифри.
- Якщо друга цифра дорівнює 5, то значення третьої цифри може бути тільки 2 або 6, і залишається два можливих значення для четвертої цифри.
- Таким чином, для першої цифри 1 є 5 * 5 + 2 = 27 можливих комбінацій.
Для першої цифри 2:
- Якщо друга цифра дорівнює 1, 2, 3 або 4, то залишається 5 можливих значень для третьої цифри і 5 для четвертої цифри.
- Якщо друга цифра дорівнює 5, то значення третьої цифри може бути тільки 2 або 6, і залишається два можливих значення для четвертої цифри.
- Таким чином, для першої цифри 2 є 5 * 5 + 2 = 27 можливих комбінацій.
Для першої цифри 3:
- Якщо друга цифра дорівнює 1, 2, 3 або 4, то залишається 5 можливих значень для третьої цифри і 5 для четвертої цифри.
- Якщо друга цифра дорівнює 5, то значення третьої цифри може бути тільки 2 або 6, і залишається два можливих значення для четвертої цифри.
- Таким чином, для першої цифри 3 є 5 * 5 + 2 = 27 можливих комбінацій.
У підсумку, загальна кількість чотиризначних чисел, які діляться на 4 і мають першу цифру 1, 2 або 3, становить 27 + 27 + 27 = 81.
Перша цифра є 4
З цифр 1, 2, 3, 4 і 5 можна скласти чотиризначні числа з різними комбінаціями. Однак, якщо перша цифра повинна дорівнювати 4, то число можливих варіантів зменшується.
Щоб скласти чотиризначне число, перша цифра повинна дорівнювати 4, а інші цифри можуть бути будь-якими з решти чотирьох. Таким чином, маємо 1 варіант для першої цифри і 4 варіанти для інших трьох цифр.
Таким чином, всього можна скласти 4 різних чотиризначних числа, які діляться на 4 з цифр 1, 2, 3, 4 і 5, за умови, що перша цифра дорівнює 4.
Перша цифра є 5
З цифр 1, 2, 3, 4 і 5 можна скласти чотиризначні числа, які діляться на 4 і починаються з цифри 5.
Так як число повинно ділитися на 4, останні дві цифри числа повинні утворювати число, яке ділиться на 4. Тобто можливі комбінації для останніх двох цифр це 12, 24, 32 і 52.
Таким чином, з цифр 1, 2, 3, 4 і 5 можна скласти наступні унікальні чотиризначні числа, які діляться на 4 і починаються з цифри 5: 5124, 5142, 5214 і 5241.
Друга цифра є 1, 2 або 3
Щоб знайти кількість чотиризначних чисел, що діляться на 4 і складених з цифр 1, 2, 3, 4 і 5, потрібно розглянути всі можливі випадки для другої цифри.
- Якщо друга цифра дорівнює 1, то третя цифра може бути будь-якою з решти цифр 1, 3, 4 або 5. Інші дві цифри можуть бути будь-якими. Таким чином, кількість чисел в даному випадку дорівнює 4 * 5 * 5 = 100.
- Якщо друга цифра дорівнює 2, то третя цифра також може бути будь-якою з решти цифр 1, 3, 4 або 5. Інші дві цифри можуть бути будь-якими. Кількість чисел в цьому випадку також дорівнює 4 * 5 * 5 = 100.
- Якщо друга цифра дорівнює 3, то третя цифра може бути будь-якою з решти цифр 1, 2, 4 або 5. Інші дві цифри можуть бути будь-якими. Таким чином, кількість чисел в даному випадку дорівнює 4 * 4 * 5 = 80.
Отже, загальна кількість чисел, що задовольняють умові, дорівнює 100 + 100 + 80 = 280.
Друга цифра є 4
- Перша цифра може бути будь-який з чисел 1, 2, 3, 4 або 5.
- Друга цифра завжди дорівнює 4.
- Третя цифра може бути будь-який з чисел 1, 2, 3, 4 або 5.
- Четверта цифра повинна бути парною (2 або 4), щоб число було кратним 4.
Таким чином, для кожної з позицій в числі є по 5 варіантів вибору цифри (1, 2, 3, 4 або 5). Так як кожну позицію можна вибрати незалежно від інших, загальна кількість чотиризначних чисел, які можна скласти, дорівнює добутку кількості варіантів для кожної позиції: 5 * 1 * 5 * 2 = 50.
Таким чином, можна скласти 50 чотиризначних чисел, друга цифра яких дорівнює 4 і які діляться на 4, використовуючи цифри 1, 2, 3, 4 і 5.
Друга цифра є 5
Згідно з умовою завдання, друга цифра повинна бути 5. Решта три цифри можуть бути будь-якими з решти чотирьох цифр: 1, 2, 3 і 4.
Варіанти трирозрядних чисел, які можна скласти з урахуванням цих Умов, являють собою всі можливі перестановки решти трьох цифр: 124, 132, 134, 142, 143, 213, 214, 231, 234, 241, 243, 312, 314, 321, 324, 341, 342, 412, 413, 421, 423, 431, 432.
Отже, загальна кількість чотиризначних чисел, що діляться на 4 і мають другу цифру 5, дорівнює кількості всіх можливих варіантів трирозрядних чисел, помноженому на кількість варіантів для другої цифри (тільки цифра 5): 6 * 1 = 6.
Значить, з цифр 12345 можна скласти 6 чотиризначних чисел, що діляться на 4 і мають другу цифру 5.
Третя цифра є 1, 2 або 3
Чотиризначні числа, що діляться на 4 і складені з цифр 1, 2, 3, 4 і 5 можуть мати різні комбінації третьої цифри. Розглянемо випадки, коли третьою цифрою може бути 1, 2 або 3.
- Якщо третя цифра дорівнює 1, то перша і друга цифри можуть бути будь-якими з доступних: 2, 3, 4 і 5. Таким чином, є 4 варіанти для першої цифри і 4 варіанти для другої цифри. Всього можливо скласти 4 * 4 = 16 чотиризначних чисел.
- Якщо третя цифра дорівнює 2, то перша і друга цифри також можуть бути будь-якими з доступних: 1, 3, 4 і 5. Таким чином, є 4 варіанти для першої цифри і 4 варіанти для другої цифри. Всього можливо скласти 4 * 4 = 16 чотиризначних чисел.
- Якщо третя цифра дорівнює 3, то перша і друга цифри також можуть бути будь-якими з доступних: 1, 2, 4 і 5. Таким чином, є 4 варіанти для першої цифри і 4 варіанти для другої цифри. Всього можливо скласти 4 * 4 = 16 чотиризначних чисел.
Отже, в разі, коли третя цифра є 1, 2 або 3, Всього можливо скласти 16 чотиризначних чисел, що діляться на 4, з цифр 1, 2, 3, 4 і 5.
Третя цифра є 4
Для того щоб визначити кількість чотиризначних чисел, що діляться на 4 і складених з цифр 12345, необхідно врахувати ряд умов. В даному випадку ми можемо помітити, що третя цифра цих чисел повинна дорівнювати 4.
Для розрахунку кількості можливих варіантів можна використовувати принцип комбінаторики. На третю позицію в числі можна поставити тільки цифру 4. Інші три позиції можна заповнити цифрами 1, 2, 3 або 5.
Таким чином, на першу позицію можна поставити 4 варіанти, на другу - 4 варіанти, на третю - 1 варіант, на четверту - 4 варіанти, на п'яту - 4 варіанти.
Загальна кількість можливих чотиризначних чисел, що діляться на 4 і складених з цифр 12345, дорівнюватиме добутку всіх варіантів: 4 * 4 * 1 * 4 * 4 = 256.
Третя цифра є 5
1. Число починається з 5 і продовжується будь-якою комбінацією двох цифр, що залишилися (1, 2, 3, 4). Наприклад, число 5412 ділиться на 4.
2. Число починається з 1, 2, 3 або 4, потім йде цифра 5, і залишилася цифра може бути будь-який. Наприклад, число 2547 також ділиться на 4.
Підсумовуючи ці два варіанти, ми отримуємо загальну кількість чотиризначних чисел, що задовольняють заданим умовам.
Таким чином, кількість чотиризначних чисел, що діляться на 4 і мають третю цифру 5, дорівнює 4 * 5 = 20.
Четверта цифра є 1, 2 або 3
Для визначення кількості чотиризначних чисел, що діляться на 4 і складених з цифр 1, 2, 3, 4 і 5, необхідно врахувати наступні умови:
- Четверта цифра може бути тільки 1, 2 або 3.
- Перша цифра не може бути 0, тому варіантів вибору - 4.
- Друга цифра може бути будь - який з п'яти, тому варіантів вибору-5.
- Третя цифра може бути будь - який з п'яти, тому варіантів вибору-5.
- П'ята цифра не може бути 0, тому варіантів вибору - 4.
Разом, загальна кількість чотиризначних чисел, що діляться на 4 і складених з цифр 1, 2, 3, 4 і 5, де четверта цифра є 1, 2 або 3, становить 4 * 5 * 5 * 3 * 4 = 2400.