Як вирішити систему рівнянь трьома способами-повний гайд

Система рівнянь - це набір математичних рівнянь, об'єднаних спільною задачею або умовою. Рішення системи рівнянь є важливим завданням у математиці і має безліч практичних застосувань. Існує кілька підходів до розв'язання систем рівнянь, і в цій статті ми розглянемо три різних методи, які допоможуть вам ефективно вирішувати цю задачу.Перший метод - метод підстановки. У цьому методі ми виражаємо одну змінну через іншу в одному рівнянні і підставляємо це вираження в інше рівняння. Потім ми знаходимо значення однієї змінної і підставляємо його назад в початкові рівняння, щоб знайти значення інших змінних. Цей метод хороший для систем з двома рівняннями, але може бути складніше застосувати у випадку складних систем.Другий метод - метод складання або віднімання рівнянь. У цьому методі ми складаємо або віднімаємо рівняння.системи так, щоб одна змінна зникла. Потім ми розв'язуємо отримане рівняння для однієї змінної та підставляємо знайдене значення назад в початкові рівняння. Цей метод хороший для систем з двома або трьома рівняннями, коли можна легко складати або вираховувати рівняння одне з одного.Третій метод - метод матриць і визначників. У цьому методі систему рівнянь можна представити у вигляді матриці коефіцієнтів і стовпця вільних членів. Потім ми використовуємо прийоми лінійної алгебри, такі як знаходження визначника матриці, щоб розв'язати систему. Цей метод може бути складним для початківців, але він дозволяє розв'язувати системи з будь-якою кількістю рівнянь.Повний гайд по розв'язання системи рівнянь трьома способамиЄ кілька способів розв'язання систем рівнянь, але в цьому гайді ми розглянемо три основних: графічний метод, метод підстановки та метод перетворення системи рівнянь.

Графічний метод:

Для розв'язання системи рівнянь графічним методом необхідно побудувати графіки всіх рівнянь у системі на координатній площині. Потім вказати точку перетину графіків - ця точка буде являтися розв'язком системи рівняннь.

Метод підстановки:

Цей метод передбачає підстановку одного рівняння в інше. Для початку вибирається одне з рівнянь, і одна з змінних з нього виражається через іншу змінну. Потім отримане вираження підставляється в усі інші рівняння системи. Таким чином, ми отримуємо рівняння з однією змінною, яке можна розв’язати, а потім визначити значення інших змінних.

Метод перетворення системи рівнянь:

У цьому методі застосовуються різні перетворення рівнянь, щоб отримати систему рівнянь, у якій одне або кілька рівнянь містять однакові коефіцієнти при одній і тій же ...змінних. Потім ці рівняння віднімаються або складаються одне з одним, щоб отримати нові рівняння, в яких одна змінна усувається. Після цього можна вирішити нову систему і отримати значення змінних.Це основні способи розв'язання системи рівнянь. Вибір методу залежить від конкретної системи та вподобань виконавця. Практика та досвід допоможуть вам стати кваліфікованим у розв'язанні систем рівнянь.Спосіб перший: метод підстановкиЩоб застосувати цей метод, необхідно дотримуватись наступних кроків:Вибрати одне з рівнянь системи і виразити одну зі змінних через інші.Підставити це вираження в усі інші рівняння системи.Розв'язати отримані рівняння щодо однієї змінної.Підставити знайдені значення змінних в початкові рівняння та перевірити їх.Якщо значення змінних задовольняють усімрівняннях системи, то вони є розв'язком цієї системи.Наведемо приклад розв'язання системи рівнянь методом підстановки:Рівняння 1Рівняння 22x + 3y = 8x + y = 4Виберемо рівняння 2 та виразимо змінну x через y:Підставимо це вираження в перше рівняння:Підставимо знайдене значення y в друге рівняння:Таким чином, розв'язання системи рівнянь методом підстановки: x = 4, y = 0.Другий спосіб: метод складанняДля застосування цього методу необхідно:Розглянути систему рівнянь та вибрати два рівняння, в яких коефіцієнти при одній і тій же змінній мають однаковий знак.Помножити обидва рівняння на такі числа, щоб коефіцієнти при цій змінній в обох рівняннях стали рівними за модулем.Скласти отримані рівняння і виразити одну ззмінних через інший.

Підставляємо знайдене значення змінної назад в одне з вихідних рівнянь і знаходимо значення другої змінної.

Таким чином, метод додавання дозволяє знаходити значення змінних в системі рівнянь і знаходити їх перетин на координатній площині. Цей метод є одним з найпопулярніших способів вирішення систем рівнянь і може використовуватися в різних математичних задачах.

Приклад	Рішення
2x + 3y = 7	(1)
3x + 2y = 8	(2)
Помножимо рівняння (1) на 3 і рівняння (2) на 2:
6x + 9y = 21	(3)
6x + 4y = 16	(4)
Відніміть рівняння (4) від рівняння (3):
5y = 5
y = 1
Підставляємо знайдене значення y в рівняння (1) або (2) і знаходимо x:
2x + 3*1 = 7
2x + 3 = 7
2x = 4x = 2Відповідь:x = 2, y = 1Спосіб третій: метод КрамераДля розв'язання системи рівнянь методом Крамера необхідно виконати наступні кроки:Знайдіть визначник матриці коефіцієнтів системи рівнянь.Знайдіть визначник матриці, отриманої заміною стовпця коефіцієнтів вільними членами системи рівнянь.Розділіть визначник матриці вільних членів на визначник матриці коефіцієнтів. Отримане значення буде розв'язком першої змінної.Повторіть кроки 2-3 для кожної змінної системи рівнянь.Якщо визначник матриці коефіцієнтів дорівнює нулю, то система рівнянь має нескінченну кількість розв'язків або не має розв'язків.Метод Крамера є досить точним і надійним, однак вимагає великих обчислювальних затрат. При великій кількості змінних системив рівняннях можливе виникнення помилок округлення, тому його використання рекомендується лише для невеликих систем рівнянь.