Метод алгебраїчного складання є одним з основних методів розв'язання систем лінійних рівнянь. Цей метод ґрунтується на основному принципі алгебри – складанні або відніманні двох рівнянь, щоб позбутися однієї з змінних. Суть методу полягає в тому, що систему рівнянь зводять до системи з меншою кількістю змінних, яку вже можна розв'язати звичними методами.Для застосування методу алгебраїчного складання необхідно мати систему рівнянь, яка складається з лінійних рівнянь. Лінійне рівняння має вигляд a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, де a1, a2, ... an – числові коефіцієнти, x1, x2, ... xn – змінні, а b – вільний член.Процес розв'язання системи рівнянь методом алгебраїчного складання полягає в наступному. Спочатку вибирається одне з рівнянь системи, що містить найбільшу кількість змінних, і призначається ця змінна головною. Потім головне рівняння віднімається з ...усіх інших рівнянь системи. Результатом стане нова система рівнянь з меншою кількістю змінних. Далі процес повторюється до тих пір, поки всі змінні не будуть виключені. Таким чином, в результаті отримується система з одним рівнянням, яке вже можна вирішити за допомогою звичайних прийомів алгебри.Формулювання задачі системи рівняньСистема рівнянь є сукупністю математичних виразів, де необхідно знайти значення невідомих змінних, що задовольняють даним умовам. Рішення системи рівнянь методом алгебраїчного складання дозволяє знайти ці значення.Задача системи рівнянь може бути сформульована наступним чином:Даноn рівнянь зn невідомими.Потрібно знайти значення невідомих змінних, при яких всі рівняння системи стануть рівними.Кожне рівняння системи може містити як одну, так і кілька невідомих змінних. Рішення системи рівнянь методом алгебраїчного складання ґрунтується на перетвореннях рівнянь шляхом складання, віднімання та множення на число з метою послідовного усунення невідомих і отримання одного або кількох рівнянь з одною невідомою.Отримані рівняння розв'язуються методами алгебри для визначення значень невідомих змінних, що задовольняють систему. Розв'язання системи рівнянь методом алгебраїчного складання дозволяє знайти точні значення або набори значень змінних, які є відповіддю на поставлене завдання.Загальна форма системи рівняньСистема рівнянь є набором з двох або більше рівнянь, в яких невідомі величини пов'язані між собою. Загальна форма системи рівнянь виглядає наступним чином:Тут aкоефіцієнти при невідомих xiв кожному рівнянні системи, bi - праві частини рівнянь, xi - невідомі величини. Система рівнянь може бути як сумісною (мати одне або більше розв'язків), так і несумісною (не мати розв'язків).Метод алгебраїчного складанняДля застосування методу алгебраїчного складання необхідно привести систему рівнянь до канонічного вигляду, тобто представити її у вигляді матриці, де кожне рівняння представлено рядком, а кожна змінна – стовпцем.Суть методу алгебраїчного складання полягає в тому, що ми складаємо всі рівняння системи поелементно. Це означає, що ми складаємо коефіцієнти при однакових змінних, а також вільні члени кожного рівняння.В результаті отримуємо нове рівняння, де кожен коефіцієнт дорівнює сумі коефіцієнтів з вихідних.рівнянь. Отримане рівняння являє собою нову систему з меншою кількістю змінних.
Використовуючи метод алгебраїчного складання, можна послідовно зменшувати кількість змінних, поки не досягнемо системи з одним рівнянням і одною змінною. Після цього знаходимо значення цієї змінної і підставляємо його в початкові рівняння, щоб знайти значення інших змінних.
Побудова розширеної матриці системи рівнянь
Для розв’язання системи рівнянь методом алгебраїчного складання необхідно побудувати матрицю, яка називається розширеною матрицею системи рівнянь. Розширена матриця являє собою таблицю, в якій рівняння системи записуються у вигляді рядків, а всі коефіцієнти при невідомих вносяться в стовпці.
Побудова розширеної матриці починається з запису всіх рівнянь системи у вигляді рядків. Якщо рівняння має виглядЯкщо маємо рівняння виду a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, то в розширеній матриці це рівняння буде представлене рядком [a1, a2, ..., an, b]. Кількість рядків в розширеній матриці відповідає кількості рівнянь в системі, а кількість стовпців дорівнює кількості невідомих. Якщо система складається з m рівнянь та n невідомих, то розмірність розширеної матриці буде дорівнювати m x (n + 1). Приклад побудови розширеної матриці системи рівнянь: Рівняння 1: 3x + 2y = 7. Рядок 1: [3, 2, 7]2:4x - y = 1Ряд 2: [4, -1, 1]Рівняння 3:2x + 3y = 8Ряд 3: [2, 3, 8]Таким чином, отримана розширена матриця системи рівнянь матиме наступний вигляд:[3, 2, 7][4, -1, 1][2, 3, 8]Побудувавши розширену матрицю системи рівнянь, можна перейти до розв'язання системи методом алгебраїчного складання.Приведення матриці до сходинкового виглядуКроки приведення матриці до сходинкового вигляду:Вибирається перший ненульовий рядок матриці.Якщо в цьому рядку перший ненульовий елемент дорівнює 1, то він стає провідним елементом.Якщо перший ненульовий елемент не дорівнює 1, його приводять до 1 шляхом ділення всього рядка на це число.Усі елементи під провідним елементом зануляються шляхом додавання рядків матриці, помноженихна відповідні коефіцієнти. Таким чином, весь рядок стає ступінчастим.Процес повторюється для залишкових рядків матриці, починаючи з наступного стовпця.Після приведення матриці до ступінчастого вигляду буде легше знайти рішення системи рівнянь. Ведучі елементи у ступінчастій матриці допоможуть визначити головні змінні, а нульові рядки допоможуть визначити вільні змінні.Приведення матриці до ступінчастого вигляду є важливим етапом у розв'язанні системи рівнянь методом алгебраїчного складання, і його правильне виконання забезпечує ефективне та точне рішення системи.
| 0 | 2 | 2.5 |
| 0 | -5 | -18 |
Пошук основних та вільних невідомих
Після знаходження базисного рішення системи рівнянь методом алгебраїчного складання, слід визначити основні та вільні невідомі. Основні невідомі мають однозначне значення в базисному рішенні, тоді як вільні невідомі можуть приймати будь-які значення.
Щоб знайти основні та вільні невідомі, потрібно розглянути отриману базисну систему рівнянь і вибрати з неї змінні, які визначені однозначно і залежать тільки від самих себе. Такі змінні є основними.
Усі інші змінні, які залежать від основних, будуть вільними. Для них можна вибрати будь-яке значення.