Розрахунок прямої геодезичної задачі: просте пояснення з прикладами та формулами

Геодезія - це наука, що вивчає методи і прилади для визначення форми Землі, її розмірів та розташування об'єктів на ній. Одна з найважливіших задач геодезії - визначення коротшої відстані між двома точками на поверхні Землі, відомої як пряма геодезична задача.Для розв'язання прямої геодезичної задачі необхідно знати координати двох точок. Існує кілька методів для її розв'язання, однак найпростішим і найширше використовуваним є метод геодезичних координат. У цьому методі використовуються широта і довгота точок, які вимірюються в градусах.Пряма геодезична задача полягає у визначенні напрямку та відстані між двома точками на поверхні Землі. Напрямок визначається кутом між лінією, що з'єднує дві точки, і істинним північним напрямком, зазвичай вимірюваним за годинниковою стрілкою. Відстань обчислюється в кілометрах або метрах.Для розрахунку напрямку та відстаніміж двома точками застосовуються спеціальні формули, які враховують не тільки координати точок, але й форму та розміри Землі. Однією з таких формул є формула Вінсента, яка дозволяє з великою точністю вирішувати пряму геодезичну задачу.Застосування прямої геодезичної задачі поширене в різних сферах, таких як будівництво, міжнародні перевезення та подорожі. Знання методів і формул для розрахунку відстаней і напрямків між точками на поверхні Землі важливе для оптимізації витрат і планування маршрутів.Що таке пряма геодезична задача: визначення та особливостіОсновні особливості прямої геодезичної задачі:ОсобливістьОписКоординати початкової точкиДля вирішення прямої геодезичної задачі необхідно знати координати початкової точки, від якої буде виконуватись вимірювання азимуту.Азимут напрямкуАзимут - це кут між меридіаном та напрямком на пункт призначення. Для розв'язання задачі необхідно знати азимут напрямку до пункту призначення.Геодезична задачаПряма геодезична задача є однією з основних задач геодезії і використовується для визначення положення об'єктів на земній поверхні.Розв'язання прямої геодезичної задачі дозволяє визначити координати пункту призначення та використовувати їх для побудови графічних схем, карт, планів та інших геодезичних робіт.Просте пояснення прямої геодезичної задачіПряма геодезична задача в геодезії відповідає на питання про те, як визначити координати точки B (довготу та широту) на Земній поверхні за відомими координатами точки A та напрямком (азимутом) від точки A до точки B. Дана задача знаходить своє застосування в навігації, картографії, геодезичних вимірюваннях та інших областях.Для вирішення прямої геодезичної задачі існують різні методи, одним з яких є метод за допомогою прямокутної проекції (формула Вінсента). Цей метод дозволяє знайти відстань і напрямок від точки A до точки B, використовуючи формули, основані на геодезичних координатах (широті та довготі).Простий спосіб вирішення прямої геодезичної задачі можна представити за допомогою простої таблиці, де в першому рядку вказуються вихідні дані (широта і довгота точки A, напрямок у градусах або радіанах), а в другому рядку розрахункові значення.Вихідні даніРозрахункові значенняШирота A: φAШирота B: φBДовгота A: λAДовгота B: λBНапрямок (азимут): αВідстань: sВизначення координат точки B виконується з використанням наступних формул:Широта B: φB = asin(sin φA * cos s + cos φA * sin s * cos α)Довгота B: λB = λA + atan2(sin α * sin s * cos φA, cos s − sin φA * sin φB)У цих формулах, sin і cos позначають синус і косинус відповідно, а asin і atan2 є зворотними функціями синуса і тангенса.Застосувавши ці формули до конкретних значень вихідних даних, ви можете розв'язати пряму геодезичну задачу і визначити координати точки B з урахуванням напрямку від точки A.Приклади розв'язання прямої геодезичної задачіНаведемо кілька прикладів розв'язання прямої геодезичної задачі, щоб краще зрозуміти, як працювати з формулами та застосовувати їх на практиці.практиці.

Приклад 1:

Дано: початкові координати точки A (широта: 55°30'00" п.ш., довгота: 37°15'00" сх.), азимут прямого ходу α = 120°, відстань S = 1000 м.

Знайти: кінцеві координати точки B.

Рішення:

1. Перетворимо широту і довготу точки A з градусів з хвилинами і секундами в градуси з десятковими частками:

широта A: 55°30'00" = 55 + 30/60 = 55.5°

довгота A: 37°15'00" = 37 + 15/60 = 37.25°

2. Переведемо азимут α з градусів в радіани:

α = 120° * π/180 ≈ 2.094 рад

3. Застосуємо формули прямої геодезичної задачі:

f = 1/298.257223563 - показник стиснення СФЕ;

a = 6378245 м - велика піввісь;

b = a * (1 - f) - мала піввісь;

N1 = a / √(1 - e^2 * sin_φ1^2);

C2 = e^2 * cos_φ1^2;

ssin = (sin_φ1 * cos_α)^2 + (sin_φ1 * sin_α)^2;

ccos = cos_α^2 + sin_α^2;

dd = √(ccos * cos_φ1^2 + ssin) - cos_φ1^2;

z = S / (dd + 2 * C2 * d^4 / (dd^3 * cccos));

lat_φ2 = z * cos_α * sin_φ1 + S / (dd * a * cos_φ1);

lon_φ2 = a * sin_φ1 / dd + z * sin_α * cos_φ1;

lon_φ2 = lon_φ1 + lon_φ2 / cos_φ1;

В итоге получаем кінцеві координати точки B:

широта B: lat_φ2 = 55.686°

довгота B: lon_φ2 = 37.635°

Таким чином, кінцеві координати точки B: (широта: 55.686°, довгота: 37.635°).

Приклад 2:

Дано: початкові координати точки A (широта: 45°30'00" п.ш., довгота: 90°00'00" сх.), азимут прямого ходу α = 270°, відстань S = 5000 м.

Знайти: кінцеві координати точки B.

Рішення:

Аналогічно прикладу 1, перетворюємо координати і переводимо азимут з градусів у радіани.

В результаті отримуємо кінцеві координати точки B: (широта: 45.674°, довгота: 90°00'00" сх.)Таким чином, розв'язуючи пряму геодезичну задачу, ми можемо знайти кінцеві координати точки B за заданими початковими координатами точки A, азимутом α та відстанню S.Приклад 1: Розрахунок відстані між двома точками на поверхні ЗемліВ цьому прикладі ми розглянемо, як розрахувати відстань між двома точками на поверхні Землі вздовж довготи та широти.Для розрахунку відстані між двома точками ми будемо використовувати формулу гарвеніуса, яка базується на представленні Землі у вигляді еліпсоїда, а не сфери. Це представлення є більш точним, ніж представлення Землі у вигляді сфери, але вимагає складних математичних обчислень.Формула Гарвеніуса має наступний вигляд:відстань = R * arccos(sin(широта1) * sin(широта2) + cos(широта1) * cos(широта2) * cos(довгота2 - довгота1))R - радіусЗемлі (середній радіус становить приблизно 6371 км)широта1, широта2 - широта першої та другої точок відповідно (в радіанах)dолгота1, долгота2 - довгота першої та другої точок відповідно (в радіанах)Тепер розглянемо приклад:Нехай перша точка має координати широти 52.5200° і довготи 13.4050°Нехай друга точка має координати широти 48.8566° і довготи 2.3522°Тепер запишемо дані в радіанах:широта1 = 52.5200 * (π/180) ≈ 0.9163 радіанdолгота1 = 13.4050 * (π/180) ≈ 0.2342 радіанширота2 = 48.8566 * (π/180) ≈ 0.8527 радіанdолгота2 = 2.3522 * (π/180) ≈ 0.0410 радіанПідставимо дані у формулу Гарвеніуса і розрахуємо відстань:відстань = 6371 * arccos(sin(0.9163) * sin(0.8527) + cos(0.9163) * cos(0.8527) * cos(0.0410 - 0.2342)) ≈ 1033.52 кмТаким чином, відстань між цими двома точками на поверхні Землі становить приблизно 1033,52 км.

Приклад 2: Визначення напрямку від однієї точки до іншої на геодезичній лінії

Припустимо, у нас є дві геодезичні точки A та B, і ми хочемо визначити напрямок від точки A до точки B на геодезичній лінії. У цьому прикладі ми будемо використовувати формулу прямолінійної геодезичної задачі для розрахунку напрямку.

Для початку нам знадобляться координати точок A та B, а також значення довжини та азимуту геодезичної лінії, що з’єднує ці точки.

Нехай координати точки A рівні широті φ₁ та довготі λ₁, а координати точки B рівні широті φ₂ та довготі λ₂. Також нехай довжина геодезичної лінії дорівнює d, а азимут дорівнює α.

Для розрахунку нормального азимуту α₀ (тобто азимуту від точки A до точки B) ми можемо використовувати таку формулу:

α₀ = α + 180°

Тепер ми знаємо нормальний азимут α₀. Однак, щоб використовувати його на практиці, ми повинні врахувати північний напрямок і діапазон значень азимута (зазвичай від 0° до 360°). Для цього ми повинні скоригувати значення α₀.Якщо α₀ > 360°, ми від subtract 360°. Якщо ж α₀ < 0°, ми додаємо 360°.Таким чином, фінальне значення азимута α₀ можна розрахувати наступним чином:α₀ = (α₀ + 360°) % 360°Тепер у нас є визначений напрямок від точки A до точки B на геодезичній лінії. Ми можемо використовувати цей напрямок для навігації, планування маршруту і інших геодезичних завдань.Формули для розрахунку прямої геодезичної задачіДля розрахунку прямої геодезичної задачі, тобто визначення координат кінцевої точки (широти і довготи) на основі відомих координат початкової точки, азимута і відстані, використовуються такі формули:Широта кінцевої точки: φ₂ = asin(sin(φ₁) * cos(δ) + cos(φ₁) * sin(δ) * cos(α))

Долгота кінцевої точки: λ₂ = λ₁ + atan2(sin(α) * sin(δ) * cos(φ₁), cos(δ) - sin(φ₁) * sin(φ₂))

• φ₁ і λ₁ - широта і довгота початкової точки відповідно (в радіанах)
• δ - відстань між початковою і кінцевою точками (в радіанах)
• α - азимут, тобто напрямок на кінцеву точку (в радіанах)
• φ₂ і λ₂ - широта і довгота кінцевої точки відповідно (в радіанах)

Для виконання розрахунків зазвичай використовується тригонометрична функція синус (sin), косинус (cos) та арктангенс (atan2).

Приклади розрахунку координат кінцевої точки при відомих вихідних даних можуть виглядати наступним чином:

1. Дані початкова точка з координатами (56.75°, 37.62°), азимут 130° і відстань 10 км. Необхідно знайти координати кінцевої точки.
   • Вичислюємо значення в