Роль бісектриси зовнішнього кута при вершині в геометрії.

Бісектрису зовнішнього кута при вершині– це лінія, яка ділить зовнішній кут при вершині на дві рівні частини. Цей кут утворюється однією зі сторін трикутника та продовженням іншої сторони. Незважаючи на свою простоту, бісектрису зовнішнього кута відрізняють незвичайні властивості, і її можна використати для розв’язання різноманітних геометричних задач.Довели, що бісектрису зовнішнього кута при вершині розміщено всередині трикутника.Розглянемо трикутник ABC, у якому кут ACB є зовнішнім кутом при вершині B. Проведемо бісектрису кута ACB та позначимо точку їх перетину як точку D. Використовуючи визначення бісектриски, можемо зробити висновок, що кути ADB і BDC рівні між собою.Припустимо, що точка D не лежить всередині трикутника ABC.Візьмемо точку E, яка буде відображенням точки D щодо сторони AC. Продовжимо лінію BE до перетину з продовженням...боків AB та позначимо точку перетину як точку F. Оскільки AE є продовженням лінії AD, то за визначенням бісектриси кута ACB кут DAE дорівнює кути EAF.

Доведіть бісектрису зовнішнього кута при вершині:

Бісектрисою зовнішнього кута при вершині трикутника називається відрізок, який ділить даний кут навпіл і перетинає продовження протилежної сторони.

Припустимо, у нас є трикутник ABC. Нехай D - точка на продовження сторони BC, яка лежить зовні від трикутника. Нам потрібно довести, що відрізок AD є бісектрисою зовнішнього кута при вершині A.

Для доведення цього факту розглянемо два випадки:

Випадок 1: Точка D лежить на продовженні сторони BC зовні трикутника ABC.

1. Проведемо відрізки AD та BD.
2. Нехай кут BAD = α та кут ABD = β.
3. Оскільки кути трикутника ABC в сумі дорівнюють 180°, то кут ABC = γ = 180° - α - β.
4. Також за побудовою кут ABD = куту ABC, оскільки вони відповідні.
5. Тоді куту ABD = γ = 180° - α - β.
6. Отже, за визначенням бісектриси, відрізок AD ділить кут A на два рівні кути, тобто кути BAD і CAD рівні між собою.
7. Таким чином, AD є бісектрисою зовнішнього кута при вершині A у випадку, коли точка D лежить на продовженні сторони BC зовні трикутника ABC.

Випадок 2: Точка D лежить на продовженні сторони BC всередині трикутника ABC.

1. Проведемо відрізки AD і BD.
2. Нехай кут BAD = α і кут ABD = β.
3. Оскільки кути трикутника ABC в сумі рівні 180°, то кут ABC = γ = 180° - α - β.
4. Також за побудовою кут ABD = куту ABC, оскільки вони відповідні.
5. Тоді куту ABD = γ = 180° - α - β.
6. Отже, за визначенням бісектриси, відрізок AD ділить кут A на два рівні кутів BAD і CAD рівні між собою.Таким чином, AD є бісектрисою зовнішнього кута при вершині A в випадку, коли точка D знаходиться на продовженні сторони BC всередині трикутника ABC.Таким чином, незалежно від того, де знаходиться точка D, відрізок AD є бісектрисою зовнішнього кута при вершині A трикутника ABC. Це властивість бісектриси випливає з геометричних побудов і властивостей кутів трикутника.Властивості бісектриси:Властивості бісектриси зовнішнього кута при вершині:Бісектрисою зовнішнього кута є зовнішня кутова бісектрисою трикутника.Бісектрисою зовнішнього кута ділить протилежну сторону трикутника на відрізки, пропорційні сусіднім сторонам.Бісектрисою зовнішнього кута є бісектрисою сусіднього внутрішнього кута.Зовнішній кут трикутника є сумою внутрішнього несусіднього кута і...відповідного сусіднього зовнішнього кута. Таким чином, сума кутів, утворених бісектрисами зовнішнього кута та суміжними сторонами, дорівнює зовнішньому кута трикутника.

Завдяки цим властивостям бісектриси зовнішнього кута, вона широко використовується в геометричних конструкціях, побудовах та доказах теорем.

Доказ:

Ми знаємо, що сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів. Тому кут ACB + кут BCA + кут ABC = 180 градусів. Також відомо, що кут ACD дорівнює половині зовнішнього кута при вершині, тобто куту ABC.

Отже, кут ACD = кут ABC.

Оскільки кут BCA + кут ACD = кут ACB, ми можемо переписати рівність наступним чином: кут ACB + кут ACB = 180 градусів.

Це означає, що два кута ACB рівні між собою, а значить, що бісектриса зовнішнього кута при вершині ACB розділяє його на два рівні кути.

Точка перетворення:

Кути і їх співвідношення:

Спочатку розглянемо визначення бісектрисі зовнішнього кута при вершині. Бісектрис зовнішнього кута при вершині ділить цей кут на два рівних кути. З даного визначення випливає, що сума кутів у трикутнику дорівнює 180 градусів.

Розглянемо трикутник ABC з вершиною A і бісектрисою зовнішнього кута при вершині, яка перетинає сторону BC в точці D. Позначимо кути трикутника ABC як A, B і C відповідно.

З властивостей бісектрис випливає, що кути ACB і ACD рівні між собою. За властивістю трикутника сума кутів у трикутнику дорівнює 180 градусів, отже:

Кут ACB + Кут CAB + Кут ABC = 180°

Кут ACD + Кут CAB + Кут ABC = 180°

Кут ACD = Кут ACB

Таким чином, кути ACB і ACD рівні між собою і обидва дорівнюють половині суми кутів трикутника CAB і ABC.

Це співвідношення може бути використане для вирішення різних задач, пов'язаних із трикутниками, наприклад для знаходження невідомих кутів трикутника.Наслідки:1. Рівність кутів: Бісектрису зовнішнього кута при вершині ділить цей кут на два рівні кути.2. Побудова перпендикуляра: Якщо продовжити бісектрису зовнішнього кута при вершині до перетину з протилежною стороною, то отримаємо перпендикуляр до цієї сторони.3. Слідування по бісектрисі: Якщо з точки на стороні трикутника провести промінь, паралельний бісектрисі зовнішнього кута при вершині, то він перетинає протилежну сторону трикутника в точці, симетричній вихідній точці щодо бісектриси.4. Рівняння бісектрис: Довжина бісектриси зовнішнього кута при вершині може бути виражена через довжини сторін трикутника та півпериметр.Приклади використання:Розглянемо трикутник ABC, у якого вершина A знаходиться поза колом, а вершини B і C - на колі.Тоді бісектрисою кута A, вона ж відстань від вершини A до прямої, що містить бісектрису кута BAC, буде зовнішньою бісектрисою кута ABC. Іншими словами, вона буде ділити кут ABC навпіл.Використовуючи таблицю значень, можна проілюструвати цю властивість бісектрис зовнішнього кута:Кут BAC (в градусах)Кут ABC (в градусах)Бісектрису кута ABC (в градусах)309045459045609045Як видно з таблиці, бісектрису кута ABC завжди дорівнює 45 градусів, незалежно від значення кута BAC. Ця властивість дозволяє використовувати бісектрису зовнішнього кута для побудови прямих і знаходження кутів у геометричних задачах.