Рішення лінійних рівнянь - одна з основних тим, яку 7 класник вивчає в курсі алгебри. Це основа алгебри, яка є основоположною дисципліною для більш складних математичних концепцій. У даній статті ми розглянемо основні методи вирішення лінійних рівнянь і надамо докладне пояснення і приклади.
Лінійне рівняння - це рівняння першого ступеня, в яких невідома змінна входить тільки з показником 1. Такі рівняння мають вигляд ax + b = 0, де a і b - задані числа, а x - невідома змінна.
Існує кілька методів вирішення лінійних рівнянь. Один з найбільш простих методів – це метод підстановки. Для вирішення рівняння спочатку висловлюємо змінну x через іншу змінну, а потім підставляємо отримане значення змінної в рівняння. Зазвичай цей метод використовується, коли рівняння містить лише одну змінну.
Інший метод - це метод виключення. Він використовується, коли в рівнянні присутні дві або більше змінних. Щоб застосувати цей метод, необхідно послідовно виключити одну змінну за одною, шляхом додавання або віднімання рівнянь між собою. Цей метод може бути більш ефективним і швидким, особливо при вирішенні систем лінійних рівнянь.
Основні поняття лінійних рівнянь
де a і b - це відомі числа, a ≠ 0, а x - невідома змінна.
Корінь лінійного рівняння - це таке значення змінної x, при якому рівняння стає вірним.
Для вирішення лінійного рівняння використовують різні методи, включаючи застосування властивостей рівності і алгебраїчних операцій: додавання, віднімання, множення і ділення. Завдання зводиться до знаходження кореня рівняння.
Метод підстановки в рішенні лінійних рівнянь
Даний метод грунтується на тому, що якщо значення змінної задовольняє вихідного рівняння, то воно є коренем цього рівняння.
- Початкове рівняння: 3x + 4 = 10
- Підставимо значення 2 замість змінної x: 3 * 2 + 4 = 6 + 4 = 10
- Твердження вірно, значить x = 2 є коренем рівняння.
Однак, не завжди виходить знайти значення змінної, яке задовольняє вихідному рівнянню. В такому випадку, рішення не існує.
Метод підстановки дозволяє знайти тільки один корінь рівняння. Для пошуку РЕШТИ може знадобитися використання інших методів, таких як метод балансу або метод коефіцієнтів.
Таким чином, метод підстановки - це простий і зрозумілий спосіб вирішення лінійних рівнянь, який можна використовувати при роботі з простими рівняннями.
Метод рівних коефіцієнтів у вирішенні лінійних рівнянь
Для застосування методу рівних коефіцієнтів необхідно:
- Записати два лінійних рівняння, які потрібно вирішити;
- Вирівняти коефіцієнти при однакових змінних в обох рівняннях;
- Скласти або відняти два рівняння так, щоб коефіцієнти при однакових змінних скоротилися і залишилося тільки одне рівняння з однією змінною;
- Вирішити отримане рівняння і знайти значення змінної;
- Підставити знайдене значення змінної в одне з вихідних рівнянь, щоб знайти значення іншої змінної.
Для початку вирівняємо коефіцієнти при змінних в обох рівняннях:
Помножимо перше рівняння на 2:
Складемо два рівняння:
(4x - 5y) + (4x + 6y) = 7 + 20
Тепер у нас є рівняння з однією змінною. Вирішимо його:
Виберемо, наприклад, x як вільну змінну:
Підставимо знайдене значення змінної x в одне з вихідних рівнянь, наприклад, в перше:
2((27 - y) / 8) + 3y = 10
54 - 2y + 24y = 80
Таким чином, рішенням системи рівнянь буде:
Перевіримо рішення, підставивши знайдені значення в вихідні рівняння:
2(1.568) + 3(13/11) ≈ 10
4(1.568) - 5(13/11) ≈ 7
Обидва рівняння дають приблизно рівні значення, що означає, що знайдене рішення є правильним.
Метод рівних коефіцієнтів широко використовується для вирішення лінійних рівнянь в шкільній математиці і є одним з найпростіших і зрозумілих методів.
Метод графічного представлення рішення лінійних рівнянь
Для того щоб візуально представити рішення лінійного рівняння, необхідно побудувати графік цього рівняння на координатній площині. Графік являє собою сукупність точок, що задовольняють рівняння.
Для побудови графіка лінійного рівняння виду y = kx + b, де k - коефіцієнт нахилу, а b - вільний член, можна використовувати наступний алгоритм:
- Вибрати кілька значень для змінної x.
- Підставити вибрані значення x у рівняння, щоб знайти відповідні значення y.
- Побудувати отримані пари значень x і y на координатній площині.
- З'єднати всі побудовані точки лінією.
Таким чином, графік лінійного рівняння являє собою пряму лінію на координатній площині.
При вирішенні системи лінійних рівнянь графічним методом, кожне рівняння представляється графічно, і точка їх перетину на площині є рішенням цієї системи.
Метод графічного представлення рішення лінійних рівнянь є візуальним і інтуїтивно зрозумілим способом знаходження рішень. Він особливо корисний, коли рівняння мають малу кількість змінних і можуть бути представлені на двовимірній площині.
Метод основного рівняння у вирішенні лінійних рівнянь
Щоб застосувати метод основного рівняння, потрібно спочатку привести рівняння до виду, де всі змінні знаходяться на одній стороні, а числові значення - на інший. Потім, використовуючи маніпуляції з рівнянням, можна знайти значення змінних.
Наведемо приклад рішення лінійного рівняння з використанням методу основного рівняння:
| Крок | Рівняння |
|---|---|
| 1 | 3x - 7 = 2x + 3 |
| 2 | 3x - 2x = 3 + 7 |
| 3 | x = 10 |
Рівняння 3x - 7 = 2x + 3 було приведено до виду, де всі змінні знаходяться на одній стороні (ліворуч), а числові значення-на іншій. Потім ми склали всі змінні та всі числові значення в окремі групи. Після цього ми обчислили значення змінних і отримали, що x дорівнює 10.
Шляхом використання методу основного рівняння, можна вирішувати різні лінійні рівняння і знаходити значення змінних. Цей метод може бути дуже корисним для учнів 7 класу, оскільки він розвиває логічне мислення та навички рівняння.
Приклади рішення лінійних рівнянь
Розглянемо кілька прикладів рішення лінійних рівнянь.
Для початку розглянемо просте рівняння виду ax + b = c, де a, B і c – дані числа, x – невідома змінна.
Приклад 1:
Вирішимо рівняння 3x + 2 = 11. Для цього віднімемо з обох сторін рівняння число 2:
| 3x + 2 | - 2 | = 11 | - 2 |
| 3x | = 9 |
Далі, щоб позбутися від коефіцієнта 3, поділимо обидві сторони рівняння на 3:
| 3x ÷ 3 | = 9 ÷ 3 |
| x | = 3 |
Отже, корінь рівняння 3x + 2 = 11 рівний x = 3.
Приклад 2:
Вирішимо рівняння 5(x - 3) = 20. Розкриємо дужки, щоб отримати просте рівняння:
Тепер додамо 15 до обох сторін рівняння:
| 5x - 15 | + 15 | = 20 | + 15 |
| 5x | = 35 |
Ділимо обидві сторони рівняння на 5:
| 5x ÷ 5 | = 35 ÷ 5 |
| x | = 7 |
Таким чином, корінь рівняння 5(x - 3) = 20 рівний x = 7.
У наведених прикладах ми використовували прості алгебраїчні операції, такі як додавання, віднімання та ділення, щоб вирішити лінійні рівняння. Пам'ятайте, що рішення лінійних рівнянь може бути більш складним в залежності від виду і кількості змінних, але основні принципи залишаються ті ж.
Застосування лінійних рівнянь у практичних задачах
Однією з таких практичних завдань є розрахунок вартості товарів або послуг. Уявімо, що одна одиниця товару коштує 100 гривень, а можливо купити тільки цілу кількість товарів. Для розрахунку загальної вартості покупки потрібно вирішити лінійне рівняння, де невідома буде кількість товарів, а відомі величини – Ціна за одиницю товару і загальна вартість покупки.
Ще одна приклад практичної задачі, в якій застосовуються лінійні рівняння, – розрахунок швидкості руху тіла. Знаючи відстань, яку пройшло тіло, і час, за який це сталося, можна вирішити рівняння і визначити швидкість руху. Також, використовуючи лінійні рівняння, можна розрахувати час у дорозі, знаючи швидкість і відстань.
В економіці лінійні рівняння дозволяють вирішувати завдання, пов'язані з фінансовим плануванням. Знаючи початковий капітал, процентну ставку і час, можна розрахувати кінцевий капітал, застосовуючи формули лінійних рівнянь. Також з їх допомогою можна вирішити завдання, пов'язані зі зростанням населення, виплатою кредитів і різними фінансовими інвестиціями.
Застосування лінійних рівнянь в повсякденних задачах дозволяє вирішувати безліч практичних проблем і приймати обгрунтовані рішення на основі математичних обчислень. Вони допомагають аналізувати дані, робити прогнози і дозволяють економити час і ресурси, уникаючи людських помилок.