Природний логарифм – одна з основних математичних функцій, яка знайшла широке застосування в різних галузях науки. В основі цієї функції лежить число Ейлера, яке позначається як e і приблизно дорівнює 2,71828. Однією з цікавих особливостей природного логарифма є його похідна, яка може бути виражена через саму функцію.Похідна функції – це показник її зміни в часі або в просторі. Знаючи похідну функції, ми можемо зрозуміти, як функція змінюється при зміні аргумента. Для природного логарифма мінус х існує своєрідне правило знаходження похідної, яке дозволяє спростити процес обчислення.Для знаходження похідної природного логарифма мінус х з допомогою правила ланцюгового диференціювання, потрібно спочатку знайти похідну функції логарифма від х.потім множимо отримане значення на похідну функціїмінус х.Правило ланцюгового диференціювання можна записати наступним чином:(ln (x))' * (f(g(x)))' = (f'(g(x)) * g'(x))де f(g(x)) – початкова функція,g(x) – функція всередині логарифма,Похідна натурального логарифма мінус х.Правило похідної натурального логарифма мінус х ґрунтується на використанні ланцюгового правила похідних. Формула для знаходження похідної виглядає наступним чином:Нехай у нас є функція f(x) = ln(-x).Тоді, використовуючи ланцюгове правило для похідної функції складної змінної, отримуємо: f'(x) = -1/x.Таким чином, похідна натурального логарифма мінус х дорівнює -1/x. Важливо зазначити, що це правило застосовне лише для від'ємних значень x. Якщо xякщо дорівнює нулю або додатному числу, то похідна буде невизначеною.Похідна натурального логарифма мінус х є однією з важливих похідних, яка може застосовуватися в різних галузях математики та фізики. Правила її знаходження дозволяють спростити вирішення математичних задач і допомогти у вивченні функцій складної змінної.Процес знаходження похідної натурального логарифма мінус хДля знаходження похідної натурального логарифма мінус х потрібно скористатися правилом диференціювання функції, яке говорить: якщо у нас є функція f(u), і f(x) = ln(u), то похідна f'(x) дорівнює f'(u) * u'.У даному випадку у нас функція f(x) = ln(-x). Щоб знайти похідну, ми повинні спочатку знайти похідну логарифма від аргументу, а потім помножити її на похідну цього аргументу.Похідна натурального логарифма дорівнює похідній зворотної функції доекспоненте, тобто f'(u) = 1/u. У нашому випадку аргумент у функції ln(-x) рівний -x, тому похідна цього аргументу дорівнює -1.Отже, щоб знайти похідну функції f(x) = ln(-x), ми беремо похідну натурального логарифму за аргументом, отримуємо f'(u) = 1/u, а потім множимо це значення на похідну аргументу, тобто -1:Таким чином, похідна натурального логарифма мінус ікс дорівнює -1/x.Формула для обчислення похідної функціїОднією з таких формул є формула для обчислення похідної функції f(x)=ln(x)-x. Похідна цієї функції може бути обчислена з використанням правила диференціювання складної функції.Правило диференціювання складної функції дозволяє знайти похідну функції, що складається з композиції двох функцій. У даному випадку функція f(x) складається з двох функцій: f1(x)=ln(x) та ...f2(x)=-x.Застосовуючи це правило, отримуємо:f'(x) = f1'(x) * f2(x) + f1(x) * f2'(x)В даному випадку:f1'(x) = 1/x- похідна функції ln(x)f2(x) = -x- функція, друга компонента функції f(x)f2'(x) = -1- похідна функції -xПідставляючи значення, отримуємо:f'(x) = (1/x) * (-x) + ln(x) * (-1) = -1 - ln(x)Таким чином, похідна функції f(x)=ln(x)-x дорівнює -1 - ln(x).Правило диференціювання натурального логарифма мінус хПравило диференціювання для натурального логарифма говорить:Якщо f(x) = ln(x), то f'(x) = 1 / x.Застосуймо це правило до функції ln(-x). Для цього замінимо x на -x:f(x) = ln(-x) => f'(x) = 1 / (-x)Таким чином, похідна функції ln(-x) дорівнює -1 / x.З цього правила можна знайти похідну функції натурального логарифма мінус x.
Приклади знаходження похідної натурального логарифма мінус х
Знайти похідну функцію виду ln(-x)Скористаємося правилами диференціації елементарних функцій. Тут ілпозначає натуральний логарифм, а мінус перед xвказує на від'ємне значення змінної.
Давайте розглянемо кілька прикладів:
1. Для y = ln(-x)Похідна буде виглядати так:
d/dx ln(-x) = 1/(-x) * -1 = 1/x
Таким чином, похідна натурального логарифма мінус х дорівнює 1/х.
2. Враховуйте y = 2ln(-x). Похідна дорівнюватиме:
d/dx (2ln(-x)) = 2 * 1/x = 2/x
Таким чином, похідна функції 2ln(-x) рівна 2/x .3. Нехай дана функція y = ln(-2x) . Знайдемо похідну даної функції:d/dx ln(-2x) = 1/(-2x) * -2 = 1/x Таким чином, похідна функції ln(-2x) також рівна 1/x .З прикладів видно, що похідна натурального логарифма мінус ікс завжди дорівнює 1/x незалежно від коефіцієнта при ln або x .Важливо зазначити, що областю визначення функції ln(-x) є від’ємна частина осі x , тобто x < 0 .Графічне подання похідної натурального логарифма мінус іксПохідна функції f(x) = ln(-x) може бути графічно представлена з використанням графіка функції f(x) та графіка її похідної f'(x).Графік функції f(x) = ln(-x) є графіком логарифмічної функції з основою e, зсунутим уздовж осі OX вліво на π. Графік має асимптоту OY, яка є вертикальною асимптотою функції в точці x = 0.Похідна функції f'(x) = 1/(-x) * (-1) = 1/x є гіперболою з асимптотами OX та OY. Графік функції похідної проходить через точку (1, 1), що відповідає значенню похідної в точці x = 1.x-3-2-1-0.5f(x)не визначеноне визначено0ln(2)x-2-1-0.50.5f'(x)-0.5-1-22Графік функції f(x) = ln(-x) та графік функції похідної f'(x)= 1/x можна порівняти, щоб побачити, що похідна має значення 0 при x = 1 і безмежність при x = 0. Від'ємні значення x відповідають від'ємним значенням f(x) та додатним значенням f'(x).Таким чином, графічне зображення похідної натурального логарифма мінус х дозволяє візуалізувати зміну нахилу та напрямку функції та її похідної.