Арксинус - це обернена функція до синуса, яка дозволяє нам знайти кут, значення синуса якого дорівнює заданій величині. Але що робити, якщо нам потрібно знайти похідну арксинуса? У цій статті ми розберемо, як вивести похідну арксинуса і наведемо кілька прикладів розв'язання.Похідна арксинуса може бути корисною у багатьох математичних завданнях та застосуваннях. Наприклад, вона може бути використана для знаходження швидкості зміни кута, для розв'язання задач диференціальногоCalculus або для аналізу графіків функцій. Тому важливо знати, як вивести похідну арксинуса і як використовувати її в практичних задачах.Розглянемо функціюf(x) = arcsin(x), деx - змінна. Щоб вивести формулу для похідної цієї функції, ми повинні використовувати правило ланцюга:f'(x) = (d/dx)arcsin(x) = (d/dx)arcsin(u) * (du/dx), де u = x і du/dx = 1.Тепер обчислимо похідну функції синуса u = sin(u) за змінною x. Розв'язавши рівняння відносно du/dx, отримаємо:du/dx = 1/√(1 - u^2).Підставивши це значення назад у формулу правила ланцюга, отримаємо:f'(x) = (d/dx)arcsin(u) * (du/dx) = 1/√(1 - u^2) = 1/√(1 - x^2).Отже, формула похідної арксинуса дорівнює f'(x) = 1/√(1 - x^2).Приклади розв'язання задач із використанням цієї формули можна знайти в наступному розділі.Похідна арксинуса: основні поняттяАрксинус є оберненою функцією до синуса і позначається як arcsin(x). Він дозволяє визначити кут, значення синуса якого рівно заданому числу. Арксинус функції може приймати значення від -π/2 до π/2, що відповідає діапазону значень синуса від -1 до 1.Производна функції показує, як швидко функція змінюється в заданій точці. Для арксинуса похідна визначається як обернена величина квадрату кореня з різниці одиниці та квадрата аргументу функції, тобто:(arcsin(x))' = 1 / √(1 - x^2)Цей вираз дозволяє знайти швидкість зміни арксинуса функції в конкретній точці. Знаючи значення аргументу x, можна обчислити значення похідної арксинуса.Похідна арксинуса: метод рішенняСкористаємося формулою похідної складної функції:(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)Спочатку визначимо функцію, зовнішню по відношенню до арксинусу. У цьому випадку це арксинус, позначимо його g(x):g(x) = arcsin(x)Тоді знайдемо похідну цієї функції з...засобами ланцюгового правила диференціювання. Похідна арксинуса дорівнює:g'(x) = 1 / √(1 - x²)Тепер наше завдання – знайти похідну внутрішньої функції f(x) у точці x:f'(x)Перетворимо нашу вихідну функцію в наступний вигляд:f(x) = g'(f(x))Потім диференціюємо цю функцію за змінною x за допомогою ланцюгового правила:f'(x) = g''(f(x)) * f'(x)Знайдемо другу похідну арксинуса, використовуючи ланцюгове правило:g''(x) = d(g'(x)) / dx = -x / (√(1 - x²)³)Тепер залишається тільки підставити отримані значення в формулу:f'(x) = g''(f(x)) * f'(x)Таким чином, ми можемо знаходити похідну арксинуса, використовуючи метод диференціювання складних функцій та ланцюгове правило.Похідна арксинуса: приклади розв'язанняРозглянемо кілька прикладів знаходження похідноїарcsинуса.Найдем похідну функції y = arcsin(x). Використаємо формулу похідної складної функції, де f(x) = arcsin(x):Знаючи, що похідна арксинуса f'(arcsin(x)) дорівнює 1 / √(1 - x²), підставляємо у формулу:Спрощуючи вираження, отримуємо:Знайдемо похідну f'(arcsin(2x)). Для цього змінимо змінну в початковій функції: t = 2x. Отримаємо:Підставляємо отримане значення у формулу:Виконуємо спрощення:Знайдемо похідну f'(arcsin(2x - 1)). Змінюємо змінну: t = 2x - 1:Підставляємо значення у формулу:Виконуємо спрощення:Похідна функції y = 3arcsin(2x - 1) буде дорівнювати потроєному значенню, оскільки загальний множник.Похідна арксинуса: формула обчисленняЭта формула позволяет находить производную арксинуса от любого аргумента. Для вычисления производной достаточно взять данную формулу и подставить нужное значение аргумента \( x \).
Например, чтобы найти производную арксинуса от \( x = \frac \), просто подставляем \( x = \frac \) в формулу:
Вычисляем выражение в знаменателе:
Таким образом, производная арксинуса от \( x = \frac \) равна \( \frac> \).
Вычисление производной арксинуса: пошаговая инструкция
Производная арксинуса, обозначаемая как d/dx arcsin(x), представляет собой производную обратной функции синуса. Чтобы вывести эту производную, можно использовать метод дифференцирования сложной функции.
Шаг 1: Запишем исходную функцию в виде y = arcsin(x).
Шаг 2: Применим синус ко всему уравнению, чтобы убрать обернену функцію: sin(y) = x.
Крок 3: Візьмемо похідну від обох частин рівняння по x. Зазначимо, що похідна синуса дорівнює косинусу: cos(y) * dy/dx = 1.
Крок 4: Розв’яжемо рівняння відносно похідної dy/dx: dy/dx = 1 / cos(y).
Крок 5: Використаємо тригонометричну тотожність: sin^2(y) + cos^2(y) = 1. Замінемо значення sin^2(y) з цієї тотожності на 1 - cos^2(y).
Крок 6: Підставимо заміну з кроку 5 в рівняння похідної: dy/dx = 1 / sqrt(1 - x^2).
Таким чином, ми отримали вираз для похідної арксинуса: d/dx arcsin(x) = 1 / sqrt(1 - x^2).
Нехай нам потрібно знайти похідну функції y = arcsin(2x).
Спочатку виконуємо всі кроки для загального випадку: d/dx arcsin(x) = 1 / sqrt(1 - x^2).
Потім підставляємо значення 2x: d/dx arcsin(2x) = 1 / sqrt(1 - (2x)^2).
Спрощуємо вираження: d/dx arcsin(2x) = 1 / sqrt(1 - 4x^2).
Таким чином, похідна функції y = arcsin(2x) дорівнює 1 / sqrt(1 - 4x^2).
Використовуючи цю покрокову інструкцію та замінюючи змінні, можна обчислити похідну арксинуса для будь-якого виразу.