Математика завжди була і залишається однією з найбільш фундаментальних наук. Саме вона допомагає нам зрозуміти закони і принципи, що лежать в основі світу, що оточує нас. Однією з найбільш відомих і корисних формул в математиці є ідентичність для тригонометричних функцій: синус у квадраті плюс косинус у квадраті дорівнює 1.
Ця формула має довгу історію і була вперше доведена вже в 17 столітті. Вона є одним з основних властивостей трикутника і корисна при вирішенні безлічі завдань. Пояснення цієї ідентичності дуже просте і засноване на геометричній інтерпретації основних тригонометричних функцій.
Уявімо собі одиничне коло, в якому центр - точка (0,0), а його радіус дорівнює 1. Нехай точка P (x,y) - це точка на колі, утворена кутом α з позитивним напрямком осі X. Тоді координати точки P можуть бути виражені наступним чином: x = cos(α) і y = sin(α).
З даної геометричної інтерпретації відразу стає ясно, чому синус в квадраті плюс косинус в квадраті дорівнює 1. Адже точка P завжди лежить на радіусі кола, а значить, відстань від неї до центру буде завжди дорівнює 1. Таким чином, x2 + y2 = cos2(α) + sin2(α) = 1. Що і потрібно було довести.
Суть теореми Піфагора
Теорема Піфагора може бути записана у вигляді рівняння:
де a і b - довжини катетів, А c-довжина гіпотенузи.
Суть цієї теореми полягає в тому, що в прямокутному трикутнику сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи. Таким чином, теорема Піфагора дозволяє обчислити довжину однієї зі сторін трикутника, якщо відомі довжини двох інших сторін.
Теорема Піфагора має багато застосувань у різних галузях, таких як фізика, Інженерія, Архітектура та інші. Вона є основою для багатьох математичних і наукових розрахунків.
Пояснення простими словами
Якщо ви коли-небудь замислювалися, чому синус у квадраті плюс косинус у квадраті завжди дорівнює одиниці, то вам знадобляться основи тригонометрії.
Синус і косинус є функціями, які відносяться до кутів. Синус кута позначається як sin, а косинус кута - cos.
Важливо розуміти, що синус кута дорівнює відношенню протилежної сторони трикутника до гіпотенузи, а косинус - відношенню прилеглої сторони трикутника до гіпотенузи.
Тепер уявіть, що у вас є прямокутний трикутник з кутом A. знаючи ці визначення, можна записати рівності:
- sin^2 (A) = (протилежна сторона)^2 / (гіпотенуза)^2
- cos^2 (A) = (прилегла сторона)^2 / (гіпотенуза)^2
Якщо скласти ці два рівняння, то вийде:
- sin^2 ( A) + cos^2 (A) = (протилежна сторона)^2 / (гіпотенуза)^2 +(прилегла сторона)^2 / (гіпотенуза)^2
- = [(протилежна сторона)^2 +(прилегла сторона)^2] / (гіпотенуза)^2
- = (протилежна сторона)^2 / (гіпотенуза)^2 + (прилегла сторона)^2 / (гіпотенуза)^2
- = 1
Простими словами, сума квадратів синуса і косинуса кута a завжди буде дорівнює 1. Це математичне властивість багатокутників в тригонометрії і є базовим елементом при вирішенні задач і побудові графіків.
Властивості синуса і косинуса
Синус і косинус мають періодичність 2π, тобто їх значення повторюються з періодом 360°. Це означає, що при збільшенні аргументу на 2π або на 360°, значення функцій не змінюються.
Одним з основних властивостей синуса і косинуса є співвідношення, що синус в квадраті плюс косинус в квадраті дорівнює 1. Математично це можна записати як sin^2(x) + cos^2 (x) = 1, де X – аргумент функцій.
Синус і косинус також мають геометричну інтерпретацію. Припустимо, що є одиничне коло з центром на початку координат. Тоді синус кута α визначається як ордината точки перетину кола і променя, утвореного кутом α. Косинус кута α визначається як абсциса цієї точки. Таким чином, значення синуса і косинуса є координатами відповідних точок на колі.
Синус і косинус мають багато інших властивостей і зв'язків, які широко використовуються в тригонометрії та математичному аналізі. Ці функції є основою для вивчення трикутників і коливань, а також знаходять застосування у фізиці, інженерних розрахунках та інших галузях науки.
Обґрунтування рівності синуса квадрата плюс косинуса квадрата дорівнює 1
Щоб довести цю рівність, можна використовувати теорему Піфагора та визначення синуса та косинуса.
- Теорема Піфагора стверджує, що в прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів. Введемо позначення: нехай a-катет, b - другий катет, і з-гіпотенуза.
- Визначення синуса і косинуса: синус кута α в прямокутному трикутнику визначається як відношення довжини протилежного катета до гіпотенузи, а косинус кута α визначається як відношення довжини прилеглого катета до гіпотенузи.
- Нехай α-кут, для якого ми хочемо довести рівність. Запишемо визначення синуса і косинуса: sin^2(α) = (протилежний катет)^2 / (гіпотенуза)^2 і cos^2(α) = (прилеглий катет)^2 / (гіпотенуза)^2.
- Підставимо ці визначення в рівність синуса квадрата плюс косинуса квадрата: sin^2(α) + cos^2(α) = (протилежний катет)^2 / (гіпотенуза)^2 + (прилеглий катет)^2 / (гіпотенуза)^2.
- Скоротимо загальний множник(гіпотенузу): sin^2(α) + cos^2 (α) = (протилежний катет)^2 + (прилеглий катет)^2.
- Згадаймо теорему Піфагора: (протилежний катет)^2 + (прилеглий катет)^2 = (гіпотенуза)^2.
- Підставимо це рівність в попередній вираз: sin^2(α) + cos^2 (α) = (гіпотенуза)^2.
- Згадаймо, що (гіпотенуза)^2 дорівнює квадрату довжини гіпотенузи в теоремі Піфагора, тобто дорівнює 1^2 = 1. Отже, sin^2(α) + cos^2 (α) = 1.
Таким чином, ми довели, що синус квадрата плюс косинус квадрата дорівнює 1, використовуючи визначення синуса та косинуса та теорему Піфагора. Ця рівність є основоположною властивістю тригонометрії і знаходить широке застосування в різних математичних і фізичних задачах.
Рішення рівняння
Розглянемо рівняння синуса в квадраті плюс косинуса в квадраті:
sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1
Для початку, скористаємося тригонометричним тотожністю: sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1.
Така тотожність вірно для будь-якого кута x, так як сума квадратів синуса і косинуса завжди дорівнює 1.
Таким чином, ми можемо стверджувати, що sin 2 (x) + cos 2 (x) дорівнює 1 При будь-якому значенні кута x.
Заміна значень для синуса та косинуса
Для подальшого пояснення, чому синус у квадраті плюс косинус у квадраті дорівнює 1, нам потрібно замінити конкретні значення для синуса та косинуса.
Нагадаємо, що синус і косинус є тригонометричними функціями, які залежать від кута. Позначення синуса-sin, а косинуса – cos.
Припустимо, ми хочемо знайти значення виразу sin2(α) + cos2(α), де α – кут.
Припустимо, α = 30°. В цьому випадку, ми можемо знайти значення синуса і косинуса для даного кута:
- sin(30°) = 0.5
- cos(30°) = √3/2
Тепер, підставивши отримані значення в наш вираз, отримаємо:
sin²(30°) + cos²(30°) = (0.5)² + (√3/2)² = 0.25 + 3/4 = 1
Таким чином, коли ми підставили конкретні значення для синуса і косинуса, ми отримали, що синус в квадраті плюс косинус в квадраті дорівнює 1.
Це можна довести і для інших кутів, підставивши відповідні значення для синуса і косинуса.