Рішення рівнянь-одна з найважливіших задач в математиці, яка знаходить своє застосування як в повсякденному житті, так і в різних наукових та інженерних областях. Знання основних методів вирішення рівнянь дозволяє не тільки знайти точне рішення, але і проаналізувати його властивості, а також побудувати графік функції, представленої рівнянням.
Основними методами розв'язання рівнянь є алгебраїчні, Геометричні та чисельні методи. Алгебраїчні методи засновані на застосуванні алгебраїчних операцій і перетворень до рівняння, що дозволяють покроково вивести рішення. Геометричні методи засновані на побудові графіка рівняння і визначенні його перетинів з віссю абсцис, що дозволяє знайти значення змінних, що задовольняють рівнянню. Нарешті, чисельні методи використовуються для наближеного знаходження рішення, грунтуючись на послідовному уточненні значення змінної.
Приклади рішення рівнянь за допомогою алгебраїчних методів включають в себе найпростіші рівняння першого ступеня, квадратні рівняння, рівняння з раціональними виразами і т.д. геометричні методи застосовуються при вирішенні систем рівнянь, рівнянь з радикалами і тригонометричних рівнянь. Чисельні методи часто застосовуються при вирішенні диференціальних рівнянь, рівнянь вищих ступенів та інших складних функціональних рівнянь.
Метод підстановки:
Кроки методу підстановки:
- Вибираємо будь-яке значення змінної і підставляємо його в початкове рівняння.
- Обчислюємо значення виразу з підставленим значенням змінної.
- Перевіряємо отримане значення, замінюючи змінну в початковому рівнянні на значення, отримане на попередньому кроці.
- Якщо початкове рівняння вірно при підстановці отриманого значення, то це є рішенням рівняння.
- Якщо значення не збігається з початковим рівнянням, вибирається інше значення змінної і повторюються кроки 1-4.
Вирішимо рівняння 2x-4 = 10 методом підстановки:
- Виберемо будь-яке значення змінної, наприклад, x = 3.
- Підставимо значення в рівняння: 2 * 3 - 4 = 10
- Обчислюємо значення виразу: 6-4 = 10
- Перевіряємо отримане значення, замінюючи змінну в початковому рівнянні: 2 * 3 - 4 = 10
- Рівняння вірно при підстановці значення x = 3, значить, x = 3 є рішенням рівняння.
Метод підстановки особливо корисний, коли рівняння не має явного рішення, а потрібно знайти тільки наближене значення. Також даний метод може бути використаний для перевірки знайденого рішення рівняння, отриманого іншими методами.
Метод рівності:
Приведення рівняння до виду, де всі доданки зі змінною знаходяться на одній стороні, а всі доданки без змінної - на іншій стороні, дозволяє знайти значення змінної, при якому рівняння виконується.
Для застосування методу рівності необхідно виконати наступні кроки:
| 1. | Привести рівняння до виду ax + b = c, де a, b і c - числа, а x - невідома змінна. |
| 2. | Перенести всі доданки без змінної на одну сторону рівняння, а доданки зі змінною - на іншу сторону, змінивши при цьому знак кожного доданка. Наприклад, якщо є доданок 2x на одній стороні рівняння, потрібно перенести його на іншу сторону з протилежним знаком -2x. |
| 3. | Спростити рівняння, об'єднавши подібні доданки. |
| 4. | Застосувати властивість рівності, прирівнявши отриманий вираз зі змінною до числа c. |
| 5. | Знайти значення змінної x, вирішивши отримане рівняння. |
Наведемо приклад використання методу рівності:
Рівняння: 3x + 5 = 11
Перенесемо всі доданки без змінної на одну сторону, а доданки зі змінною - на іншу сторону рівняння:
Застосуємо властивість рівності:
Знайдемо значення змінної:
Таким чином, рішенням рівняння 3x + 5 = 11 бувши x = 2.
Метод графічного представлення:
Для вирішення рівняння методом графічного представлення необхідно побудувати графік функцій, відповідних рівнянню, на координатній площині. Після цього, досить знайти точку перетину графіків функцій, яка і буде коренем рівняння.
Перевага методу графічного представлення полягає в його наочності. Він дозволяє наочно уявити рішення рівняння і легко визначити графічний корінь. Однак, даний метод не завжди є точним і вимагає графічного побудови, що може бути важко для складних функцій і систем рівнянь.
Для використання методу графічного представлення необхідно розбити графічну область на координатну сітку, відзначити осі координат, побудувати графіки функцій за значеннями їх аргументів і значень функції, а потім знайти точку перетину графіків.
Приклад:
Вирішимо рівняння: x + 2y = 5 методом графічного представлення.
Побудуємо графік цього рівняння на координатній площині з осями x і y. Потім наочно визначимо точку перетину графіка з віссю x або y, яка і буде рішенням рівняння.
В даному випадку, точка перетину лежить на графіку рівняння і має координати (1, 2). Таким чином, рішення рівняння x + 2y = 5 дорівнює x = 1 і y = 2.
Метод застосування формул:
Для застосування методу формул потрібно знати відповідні формули і вміти правильно їх застосовувати. Залежно від типу рівняння застосовуються різні формули. Наприклад, для вирішення квадратного рівняння можна використовувати формулу дискримінанта:
Дискримінант: D = b^2 - 4ac
Якщо дискримінант більше нуля, то у рівняння є два дійсних кореня. Якщо дискримінант дорівнює нулю, то у рівняння є один дійсний корінь. Якщо дискримінант менше нуля, то речових коренів немає.
Для вирішення лінійного рівняння можна використовувати формулу:
Лінійне рівняння: ax + b = 0
Рішення такого рівняння знаходиться за формулою: x = -b/a
Також існують формули для вирішення інших типів рівнянь, таких як кубічне, біквадратне і т.д. знання і правильне застосування цих формул дозволяють вирішувати рівняння з високою точністю і ефективністю.
Метод лінійного рівняння:
Основна ідея методу лінійного рівняння полягає в тому, що якщо у нас є рівняння виду ax + b = 0, то ми можемо знайти значення x, якщо висловимо його через задані коефіцієнти A і b.
Для цього необхідно спочатку перенести доданок B на іншу сторону рівняння і позбутися від коефіцієнта a, розділивши обидві частини рівняння на A. отримаємо рівняння виду x = -b/a.
Таким чином, рішення лінійного рівняння являє собою одне єдине значення змінної x, яке задовольняє заданому рівнянню. Якщо отриманий корінь є дійсним числом, то це буде єдиним рішенням рівняння. Якщо ж отриманий вираз містить подкоренное вираз, то це буде комплексне рішення рівняння.
Приклад рішення рівняння за допомогою методу лінійного рівняння:
Дано рівняння: 3x + 4 = 10. Знайдемо значення x:
Переносимо доданок 4 на іншу сторону рівняння: 3x = 10 - 4 = 6.
Позбавляємося від коефіцієнта 3, розділивши обидві сторони рівняння на 3: x = 6/3 = 2.
Таким чином, рішення рівняння 3x + 4 = 10 дорівнює x = 2.
Метод квадратного рівняння:
де A, B і C - коефіцієнти даного рівняння.
Для вирішення рівняння другого ступеня можна використовувати так звану формулу дискримінанта:
Якщо дискримінант D дорівнює нулю, то рівняння має два збігаються кореня, які можна знайти за допомогою наступної формули:
Якщо дискримінант D більше нуля, то рівняння має два різних кореня, які можна знайти за допомогою наступних формул:
Якщо дискримінант D менше нуля, то рівняння не має рішень в області дійсних чисел. У цьому випадку кажуть, що рівняння має складні корені.
Застосування методу квадратного рівняння дозволяє ефективно вирішувати рівняння другого ступеня і знаходити значення коренів в залежності від значення дискримінанта.
Метод раціональних рівнянь:
Для того щоб застосувати цей метод, необхідно привести всі складові в рівнянні до спільного знаменника і порівняти чисельники.
Кроки вирішення рівняння методом раціональних рівнянь:
- Привести всі складові в рівнянні до спільного знаменника.
- Порівняти чисельники і написати рівність між ними.
- Вирішити отримане рівняння.
- Перевірити отриманий корінь, підставивши його в початкове рівняння.
Приклад рішення рівняння методом раціональних рівнянь:
Вирішимо рівняння: (x + 2)/3 + (2x - 1)/2 = 7.
Наведемо всі доданки до спільного знаменника, помноживши перший доданок на 2 і другий доданок на 3:
2(x + 2)/6 + 3(2x - 1)/6 = 7.
Порівняємо чисельники і запишемо рівність:
2(x + 2) + 3(2x - 1) = 42.
2x + 4 + 6x - 3 = 42.
Позбудемося одиниці, віднімаючи 1 з обох частин рівняння:
Розділимо обидві частини рівняння на 8:
Перевіримо отримане рішення, підставивши його в початкове рівняння:
(41/8 + 2)/3 + (2(41/8) - 1)/2 = 7.
Спростивши вираз, отримаємо:
Складаємо дроби і отримуємо:
Наведемо дроби до спільного знаменника:
Складаємо дроби і отримуємо:
Очевидно, що рівність не виконується, отже, отриманий корінь не є рішенням початкового рівняння.
Метод ірраціональних рівнянь:
Метод ірраціональних рівнянь застосовується для вирішення рівнянь, що містять ірраціональні вирази, такі як корінь з числа або змінної. Даний метод заснований на приведенні ірраціонального виразу до квадратного рівняння.
Для початку необхідно висловити всю ірраціональну частину рівняння в одному корені і привести його до виду √a (x-b) + C=0, де A, B і C - деякі числа або вирази, що включають змінні.
Після цього здійснюємо заміну змінної: t=√А (x-b). Тоді початкове рівняння набуде вигляду t + C = 0.
Вирішивши це рівняння щодо t, знаходимо його значення і потім шукаємо значення x. Для цього підставляємо знайдене значення t в початкове рівняння і вирішуємо вийшло квадратне рівняння щодо x.
Потім, знайшовши значення x, необхідно перевірити його, підставивши його в початкове рівняння, так як можливе утворення екстремальних значень, які будуть викиднями.
Наведемо приклад ірраціонального рівняння, яке можна вирішити методом ірраціональних рівнянь:
Спочатку наведемо ірраціональне вираз до виду √а (x-b):
Висловивши ірраціональний вираз, отримаємо: x - 1 = (3/2)^2,
або x - 1 = 9/4.
Початкове рівняння перейде до виду x = 25/4.
Перевіримо знайдене значення x:
2√(25/4-4/4) - 3 = 2√(21/4) - 3 ≈ 2 * 2.291 - 3 ≈ 4.582 - 3 = 1.582.
Відповідь: x = 25/4, перевірка виконується в значенні x; рівняння правильне.