Нерівності - це математичні вирази, у яких порівнюються два значення і вказується, яке з них більше або менше. Вони є важливим інструментом в аналізі різних ситуацій і допомагають розв'язувати безліч задач у фізиці, економіці, статистиці та інших галузях. Одним із типових завдань з нерівностей є пошук кількості розв'язків.
Розглянемо нерівність8x + 9 > 5x + 7. Щоб знайти кількість її розв'язків, необхідно проаналізувати графік цієї нерівності та застосувати різні методи розв'язання.
Спочатку побудуємо графік цієї нерівності. Для цього спочатку перенесемо всі доданки з x у ліву частину нерівності, а всі інші доданки - у праву. Після цього отримаємо3x > -2. Потім розділимо обидві частини на 3 і отримаємоx > -2/3. Графік цієї нерівності буде являти собою всі значення x, які більші за -2/3.
Математична нерівність 8x + 9 > 5x + 7
Математична нерівність 8x + 9 > 5x + 7 являє собою нерівність для змінної x, яку можна розв'язати, щоб знайти всі значення x, що задовольняють її умові.
Для початку можна побудувати графік цієї нерівності на координатній площині. Для цього потрібно переписати нерівність у вигляді 8x - 5x > 7 - 9, що приводить до нерівності 3x > -2, потім розділимо обидві частини нерівності на 3 і отримаємо x > -2/3. Графічно це являє собою пряму, що паралельна осі x і проходить над точкою (-2/3, 0).
Щоб знайти розв'язок цієї нерівності, потрібно визначити, для яких значень x виконується умова x > -2/3. У даному випадку розв'язком нерівності будуть усі значення x, які більші за -2/3. Таким чином, множину розв'язків можна записати у вигляді інтервалу (-2/3, +∞).
Також можна розв'язати цю нерівність алгебраїчним шляхом. Для цього потрібно переписати нерівність у такому вигляді: 8x - 5x > 7 - 9, що призводить до нерівності 3x > -2. Потім розділимо обидві частини нерівності на 3 і отримаємо x > -2/3. Таким чином, розв'язком нерівності є будь-яке значення x, що більше за -2/3.
Отже, математична нерівність 8x + 9 > 5x + 7 має нескінченну кількість розв'язків і може бути розв'язана як графічним, так і алгебраїчним методом.
Визначення та основні властивості нерівності
Основні властивості нерівності:
- Перенесення вільного члена: У нерівність можна додати або відняти одне й те саме число з обох боків, не змінюючи напрямку нерівності.
- Множення на додатне число: Якщо додатне число множиться на нерівність, то напрямок нерівності не змінюється.
- Множення на від'ємне число: Якщо від'ємне число множиться на нерівність, то напрямок нерівності змінюється на протилежний.
- Множення на нуль: Якщо нуль множиться на нерівність, то виходить нерівність 0 ≤ 0 або 0 ≥ 0.
- Ділення на додатне число: Якщо додатне число ділить нерівність, то напрямок нерівності не змінюється.
- Ділення на від'ємне число: Якщо від'ємне число ділить нерівність, то напрямок нерівності змінюється на протилежний.
- Дії з обома частинами нерівності: Можна застосовувати одні й ті самі дії до обох частин нерівності, не змінюючи напрямку нерівності.
Використовуючи ці властивості, можна розв'язувати нерівності та визначати їхні множини розв'язків, а також будувати й аналізувати графіки нерівностей.
Графік нерівності 8x + 9 > 5x + 7
Графік нерівності 8x + 9 > 5x + 7 дає змогу наочно уявити множину значень змінної x, що задовольняють цій нерівності.
Для побудови графіка нерівності, можна подати її у вигляді рівняння 8x + 9 = 5x + 7 і знайти точку перетину двох прямих. Потім, за допомогою тестових точок можна визначити, в яких інтервалах між точками рівняння виконана нерівність.
Розв'яжемо рівняння 8x + 9 = 5x + 7:
Таким чином, точка перетину прямих знаходиться в точці x = -2/3.
Виберемо тестову точку ліворуч від цієї точки, наприклад x = -1, і підставимо її у вихідну нерівність:
Виходить, що ліва частина нерівності більша за праву, і тому інтервал ліворуч від точки x = -2/3 не задовольняє нерівності.
Тепер виберемо тестову точку праворуч від точки x = -2/3, наприклад x = 0, і підставимо її у вихідну нерівність:
У цьому випадку ліва частина нерівності більша за праву, і тому інтервал праворуч від точки x = -2/3 задовольняє нерівність.
Таким чином, графік нерівності 8x + 9 > 5x + 7 буде являти собою пряму, що проходить через точку x = -2/3 і заповнений інтервал праворуч від цієї точки.
Побудова графіка нерівності на координатній площині
Для побудови графіка даної нерівності 8x + 9 > 5x + 7 на координатній площині, необхідно дотримуватися кількох простих кроків:
- Намалюйте осі координат, горизонтальну вісь x і вертикальну вісь y.
- Позначте точку на графіку, що відповідає розв'язанню рівності 8x + 9 = 5x + 7, тобто точку перетину двох прямих.
- Виберіть довільну точку ліворуч або праворуч від знайденої точки перетину. Ця точка буде використовуватися для визначення знака нерівності.
- Підставте координати вибраної точки у вихідну нерівність. Якщо нерівність виконується, то вибрана точка задовольняє нерівність і має бути позначена на графіку.
- Повторіть крок 4 для іншої точки, що лежить ліворуч або праворуч від точки перетину. Якщо нерівність виконується, позначте цю точку на графіку.
- Позначте на графіку всі розв'язки, знайдені на попередніх кроках.
У результаті виконання цих кроків, на координатній площині буде побудовано графік, що складається з точок, які задовольняють нерівності 8x + 9 > 5x + 7. Цей графік дасть змогу візуально уявити всі можливі розв'язки цієї нерівності.
Методи розв'язання нерівності 8x + 9 > 5x + 7
1. Графічний метод
Для розв'язання нерівності графічним методом необхідно побудувати графіки функцій, що відповідають обом сторонам нерівності, і визначити область, де виконується нерівність.
Побудуємо графіки функцій:
| Функція | Графік |
|---|---|
| 8x + 9 | Пряма, що проходить через точку (0, 9) і має кутовий коефіцієнт 8 |
| 5x + 7 | Пряма, що проходить через точку (0, 7) і має кутовий коефіцієнт 5 |
Знайдемо точку перетину графіків функцій. Прирівнявши їх, отримаємо:
Таким чином, точка перетину графіків функцій знаходиться при x = -2/3.
Визначимо область, де виконується нерівність:
Таким чином, розв'язання нерівності 8x + 9 > 5x + 7 графічним методом буде:
2. алгебраїчний метод
Для розв'язання нерівності алгебраїчним методом необхідно застосувати такі кроки:
- Отримати всі змінні на один бік нерівності, а константи на інший. Привести подібні члени.
- Спростити отриманий вираз.
- Розв'язати отримане рівняння.
- Визначити знак залежно від знайдених значень змінних.
Застосовуючи ці кроки до цієї нерівності, отримаємо:
Таким чином, розв'язання нерівності 8x + 9 > 5x + 7 алгебраїчним методом буде:
Отже, ми розглянули два методи розв'язання цієї нерівності: графічний та алгебраїчний методи. Їхні результати збігаються і вказують на те, що нерівність 8x + 9 > 5x + 7 виконується при x < -2/3.
Метод повного перебору
1. Запишемо нерівність у вигляді 8x + 9 - (5x + 7) > 0
2. Спростимо вираз за допомогою алгебраїчних операцій: 8x + 9 - 5x - 7 > 0
3. Отримаємо нову нерівність: 3x + 2 > 0
4. Розв'яжемо отриману нерівність, повний перебором значення x:
а) Підставимо замість змінної x найбільше можливе число, наприклад, x = +∞. Отримаємо: 3(+∞) + 2 > 0. У цьому випадку нерівність виконується, тому що нескінченно велике число плюс константа дають нескінченно велике число, що є додатним.
б) Підставимо замість змінної x найменше можливе число, наприклад, x = -∞. Отримаємо: 3(-∞) + 2 > 0. У цьому випадку нерівність також виконується, тому що нескінченно мале число, помножене на 3, дасть нескінченно мале число, яке, збільшене на 2, буде все ще менше нуля.
Таким чином, методом повного перебору було встановлено, що нерівність 8x + 9 > 5x + 7 виконується за будь-яких значень змінної x. Іншими словами, рівняння є вірним у всьому діапазоні дійсних чисел.
Метод приведення нерівності до еквівалентного вигляду
Розглянемо нерівність 8x + 9 > 5x + 7. Щоб привести її до еквівалентного вигляду, спочатку віднімемо 5x і 7 від обох сторін нерівності:
8x + 9 - 5x - 7 > 0
Після спрощення отримаємо:
Тепер, щоб знайти значення x, для яких нерівність виконується, потрібно розглянути два випадки:
1) Якщо коефіцієнт при x позитивний (3 > 0), то нерівність виконуватиметься, коли x більше або дорівнює -2/3 (x > -2/3).
Отже, розв'язок нерівності 8x + 9 > 5x + 7 - це множина всіх значень x, які більші за -2/3 або менші чи дорівнюють -2/3.
Таким чином, метод приведення нерівності до еквівалентного вигляду дає змогу спростити вихідну нерівність і знайти її розв'язок у вигляді нерівності з однією або кількома умовами.