П'ятизначні числа зі зростаючими цифрами - це числа, в яких кожна наступна цифра більше попередньої. Наприклад, 12345 або 23456. Цікаво обчислити, скільки таких чисел існує.
Для вирішення цієї задачі можна використовувати просту математику. Адже кожна позиція в числі може приймати тільки обмежена кількість значень. Наприклад, перша цифра може бути будь-який з 1, 2, 3, 4 або 5, так як вона є найбільшою цифрою в числі.
Також, друга цифра може бути будь-який з чисел, що залишилися після першої: 2, 3, 4 або 5. Третя цифра може бути будь-який з чисел, що залишилися після Другої. І так далі.
Отже, щоб обчислити кількість п'ятизначних чисел зі зростаючими цифрами, потрібно помножити кількість можливих значень для кожної позиції в числі: 5 (перша цифра) x 4 (друга цифра) x 3 (третя цифра) x 2 (четверта цифра) x 1 (п'ята цифра).
Визначення п'ятизначних чисел зі зростаючими цифрами
Наприклад, п'ятизначні числа з наступними цифрами є числами зі зростаючими цифрами:
Однак, числа з повторюваними цифрами, такі як 12234 або 87777, не вважаються числами зі зростаючими цифрами.
Визначити кількість п'ятизначних чисел зі зростаючими цифрами можна шляхом складання всіх можливих комбінацій цифр і відсіювання чисел, що не задовольняють умові зростання цифр. Потім можна порахувати кількість РЕШТИ чисел.
Способи підрахунку
Існує кілька способів підрахунку кількості п'ятизначних чисел зі зростаючими цифрами.
1. Перебір. Найпростіший спосіб-це перебір всіх п'ятизначних чисел і перевірка, чи задовольняють вони умові зростаючих цифр. Однак, це досить трудомістке заняття і неефективно з точки зору часу.
2. Формула комбінаторики. Є і більш ефективний спосіб. Кількість п'ятизначних чисел зі зростаючими цифрами можна порахувати, використовуючи формулу комбінаторики. П'ята цифра повинна бути від 0 до 9, четверта - від 1 до 9, третя - від 2 до 9 і т. д. Таким чином, кількість п'ятизначних чисел дорівнюватиме:
| Цифра | Кількість варіантів |
|---|---|
| П'ята | 10 |
| Чверть | 9 |
| Третина | 8 |
| Друга | 7 |
| Перше | 6 |
Таким чином, загальна кількість п'ятизначних чисел зі зростаючими цифрами дорівнюватиме добутку всіх варіантів:
10 * 9 * 8 * 7 * 6 = 30 240.
Таким чином, існує 30 240 п'ятизначних чисел із зростаючими цифрами.
Методика №1: перебір варіантів
Починаємо з найменшого п'ятизначного числа зі зростаючими цифрами-12345. Умова завдання не вказує, чи можна використовувати одну і ту ж цифру кілька разів, тому припустимо, що цифри не повторюються.
Починаємо перебір з числа 12345 і в кожній ітерації збільшуємо на одиницю. Перевіряємо, чи є поточне число п'ятизначним і чи має зростаючі цифри. Якщо умова виконується, збільшуємо лічильник на одиницю.
Процес триває до тих пір, поки число не стане рівним 98765, так як це найбільше п'ятизначне число зі зростаючими цифрами.
Коли цикл закінчується, ми отримуємо кількість п'ятизначних чисел із зростаючими цифрами.
Однак, методика перебору варіантів є неефективною. При великих значеннях діапазону, кількість ітерацій може бути дуже великим і обчислення займуть багато часу.
Методика № 2: Формула комбінаторики
Другий спосіб підрахунку кількості п'ятизначних чисел зі зростаючими цифрами заснований на застосуванні формули комбінаторики. Для використання цієї методики важливо знати основні принципи комбінаторики.
- Принцип множення - якщо завдання можна розділити на кілька етапів або умов, кожне з яких можна виконати або вибрати декількома способами, то загальна кількість варіантів виходить шляхом множення кількості способів виконати або вибрати кожен етап або умова.
- Принцип складання - якщо завдання можна розділити на кілька взаємовиключних випадків, то загальна кількість варіантів виходить шляхом додавання кількості варіантів для кожного можливого випадку.
Застосовуючи ці принципи, можна розділити задачу підрахунку п'ятизначних чисел зі зростаючими цифрами на кілька етапів:
- Вибір першої цифри-можливо 9 варіантів (1-9), так як перша цифра не може бути дорівнює нулю.
- Вибір другої цифри-вибір обмежений цифрами від першої плюс 9, тобто 10 варіантів.
- Вибір третьої цифри-вибір обмежений цифрами від другої плюс 9, тобто 10 варіантів.
- Вибір четвертої цифри-вибір обмежений цифрами від третьої плюс 9, тобто 10 варіантів.
- Вибір п'ятої цифри-вибір обмежений цифрами від четвертої плюс 9, тобто 10 варіантів.
Використовуючи принцип множення, загальну кількість п'ятизначних чисел із зростаючими цифрами можна обчислити як добуток кількості варіантів на кожному етапі:
9 * 10 * 10 * 10 * 10 = 90,000
Таким чином, існує 90,000 п'ятизначних чисел зі зростаючими цифрами.
Приклади та ілюстрації
Розглянемо кілька прикладів п'ятизначних чисел зі зростаючими цифрами:
Приклад 1: Число 12345 є п'ятизначним числом, де кожна наступна цифра більше попередньої.
Приклад 2: Число 23456 також є п'ятизначним числом із зростаючими цифрами.
Приклад 3: Число 34567 також підходить до даної умови, де кожна цифра більше попередньої.
Таким чином, ці приклади ілюструють п'ятизначні числа зі зростаючими цифрами.
Приклад №1: Числа в порядку зростання
Щоб знайти кількість п'ятизначних чисел зі зростаючими цифрами, можна розглянути наступний підхід:
- Почнемо з найменшого п'ятизначного числа, яке є 10 000.
- Переберемо всі можливі п'ятизначні числа, починаючи з 10 000 і закінчуючи 99 999.
- Для кожного числа перевіримо, що всі його цифри розташовані в порядку зростання.
- Якщо число задовольняє цій умові, збільшимо лічильник на одиницю.
- Після перебору всіх чисел отримаємо підсумкове кількість п'ятизначних чисел зі зростаючими цифрами.
Отже, для визначення кількості п'ятизначних чисел зі зростаючими цифрами ми можемо використовувати просту програму на мові програмування, яка буде перебирати всі числа в заданому діапазоні і перевіряти умову зростання цифр.
Приклад № 2: варіанти чисел з урахуванням повторів
Кількість п'ятизначних чисел зі зростаючими цифрами без повторів ми вже розглянули. Однак в реальному житті нерідко зустрічаються числа, в яких цифри можуть повторюватися.
Для прикладу розглянемо числа, що складаються тільки з цифр 0 і 1. В такому випадку, кожна позиція в числі може приймати значення 0 або 1, тобто у нас є 2 варіанти для кожної позиції. Якщо ми розглядаємо п'ятизначне число, то загальна кількість варіантів буде дорівнює добутку кількості варіантів для кожної позиції: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Таким чином, з урахуванням повторів, у нас є 32 різних п'ятизначних числа, що складаються тільки з цифр 0 і 1.
| Число | Опис |
|---|---|
| 00000 | Число, що складається тільки з нулів |
| 00001 | Число, де тільки остання цифра дорівнює одиниці |
| 00010 | Число, де тільки четверта цифра дорівнює одиниці |
| 00011 | Число, де останні дві цифри дорівнюють одиниці |
| . | . |
| 11111 | Число, що складається тільки з одиниць |
Таким чином, ми розглянули варіанти п'ятизначних чисел зі зростаючими цифрами з урахуванням можливих повторень.