Рівняння Коші-Пуассона-Вольтерра, або рівняння кПВ, є одним з основних рівнянь математичної фізики. Воно широко застосовується в різних областях, таких як теорія управління, оптимізація, економіка, біологія та інші.
Крок 1: розуміння поняття рівняння Коші-Пуассона-Вольтерри. Рівняння кПВ являє собою інтегро-диференціальне рівняння, що містить невідому функцію і її похідні.
Крок 2: ознайомлення з основними властивостями рівняння кПВ. Рівняння кПВ є нелінійним, має властивість неоднорідності, а також має властивість ітерації.
Крок 3: Створення математичної моделі. На цьому кроці необхідно визначити всі відомі величини і висловити їх у вигляді рівнянь. Потім відбувається заміна невідомої функції на більш просту форму, наприклад, поліном або ряд Тейлора.
Крок 4: обчислення коефіцієнтів та визначення точного рішення. З використанням отриманої математичної моделі необхідно обчислити значення коефіцієнтів і знайти точне рішення рівняння кПВ.
Приклад: розглянемо рівняння кПВ виду F(x, t, u, Du) = 0, де x і t - незалежна змінна, u - шукана функція, Du - похідна функції u за змінною x.
Для більш наочного прикладу, припустимо, що у нас є рівняння кПВ, що описує розподіл температури в матеріалі з урахуванням його теплопровідності і тепловиробництва. У цьому випадку рівняння кПВ буде виглядати як d 2 u/dx 2 - k 2 u + Q = 0.
- Почніть з визначення хвильової функції для атома водню. Хвильова функція повинна враховувати як локалізацію електрона навколо ядра водню, так і його кінетичну енергію.
- Враховуючи потенціал ядра водню та потенціал кулонівської взаємодії між ядром та електроном, запишіть рівняння Шредінгера.
- Розв'яжіть рівняння Шредінгера для хвильової функції, використовуючи метод варіації параметра або інші відповідні методи розв'язання диференціальних рівнянь.
- Витягніть фізичні значення з хвильової функції, такі як енергія, радіус орбіти та Момент імпульсу.
- Використовуйте отримані фізичні значення, щоб вивести рівняння кПВ, яке пов'язує енергію атома водню з його радіусом орбіти і моментом імпульсу.
Скажімо, ми отримали наступні значення: енергія атома водню дорівнює -13.6 ев, радіус орбіти становить 0.53 Ангстрем, а момент імпульсу дорівнює 1.05 постійної Планка. Висловимо енергію через радіус і момент імпульсу за допомогою рівняння кПВ:
-13.6 ев = -13.6 ев = -13.6 ев
Вибір рівняння
У рівняннях кінематичного піку ми маємо три основні величини: початкова швидкість (V₀), кінцева швидкість (V), і час (t). Для вибору рівняння, необхідно знати які з цих величин відомі, а які шукаються.
Якщо відомі початкова швидкість і час, то можна використовувати рівняння V = V₀ + at, де а-прискорення.
Якщо відомі кінцева швидкість і час, то можна використовувати рівняння V = V₀ + at, де а-прискорення.
Якщо відомі початкова і кінцева швидкості, то можна використовувати рівняння V = V₀ + at, де а-прискорення.
У кожному конкретному випадку необхідно вибрати найбільш підходяще рівняння для вирішення задачі.
Визначення значень змінних
Для вирішення рівняння квадратного параболи необхідно визначити значення змінних. Залежно від форми представлення рівняння (стандартної або канонічної), значення можуть бути визначені по-різному.
Якщо рівняння представлено в стандартній формі y = ax 2 + bx + c, де a, b і c - коефіцієнти, то:
- Коефіцієнт a визначає паралельність параболи щодо осі Oy:
- a > 0 - парабола відкривається вгору;
- a < 0- парабола відкривається вниз.
- Коефіцієнт b і c визначають положення параболи на координатній площині:
- вершина параболи має координати x0 = -b / (2a) і y0 = c - b 2 / (4a);
- y0 - вершина параболи;
- x0 - аргумент, при якому досягається значення y0 (вершини параболи).
У разі канонічної форми, рівняння має вигляд y = a(x - x0) 2 + y0. Тут вже відомі координати вершини поромного рівняння. Таким чином, визначення значень змінних зводиться до безпосереднього знаходження їх чисельних значень.
Обчислення рівняння
Для обчислення рівняння кінематичної петлі мотузки потрібно виконати кілька кроків:
- Визначте відомі величини, такі як довжина мотузки та кути відхилення.
- Використовуйте закони фізики для запису рівнянь, що пов'язують ці величини. Наприклад, можна використовувати закон збереження енергії або другий закон Ньютона.
- Розв'яжіть отримані рівняння для невідомих величин. Для цього може знадобитися алгебраїчний аналіз, Диференціальні рівняння або чисельні методи.
- Перевірте отримане рішення на відповідність реальності і контрольні значення.
Приклад обчислення рівняння кінематичної петлі:
Нехай довжина мотузки дорівнює 2 метрам, а кут між мотузкою і горизонтальною площиною становить 30 градусів. Запишемо рівняння, використовуючи закон збереження енергії:
маса * прискорення * висота = маса * прискорення * Початкова висота + маса * 9.8 * r
Вирішимо рівняння для невідомої величини r і отримаємо значення радіуса петлі.