Метод Муавра є одним з найважливіших інструментів в теорії ймовірностей і математичній статистиці. Він дозволяє знаходити значення комплексного числа в тригонометричній формі, тобто у вигляді модуля і аргументу. Детальне вивчення методу Муавра дозволяє вирішувати різні завдання, пов'язані з комплексними числами і їх операціями.
Що таке формула Муавра?
Формула Муавра дозволяє обчислювати степені комплексних чисел в експоненціальній формі. Вона грунтується на основній тригонометричній формі комплексного числа, яка представляє його у вигляді суми модуля і аргументу.
- Формула Муавра має наступний вигляд:
- Для комплексного числа z = r (cosθ + isinθ) і натурального числа n:
- z^n = r^n(cos(nθ) + isin(nθ))
- z-комплексне число
- R-модуль комплексного числа (відстань від початку координат до точки на комплексній площині)
- θ-аргумент комплексного числа (кут між позитивним напрямком осі x і вектором, що з'єднує початок координат і точку на комплексній площині)
Формула Муавра є потужним інструментом, який можна використовувати для спрощення обчислень з комплексними числами, особливо при зведенні їх у великі ступені. Вона знаходить застосування в різних областях науки і техніки, таких як електротехніка, фізика, теорія управління та ін.
У яких випадках використовується формула Муавра?
Коли в задачах виникає необхідність звести комплексне число в ступінь, формула Муавра надає зручний спосіб вирішення. Вона дозволяє представити комплексне число в тригонометричній формі і використовувати тригонометричні функції для обчислення ступеня.
Формула Муавра також широко застосовується при знаходженні коренів з комплексних чисел. Використовуючи формулу Муавра, можна легко знайти всі корені заданого ступеня з комплексного числа, що може бути корисним при вирішенні рівнянь та пошуку рішень у різних галузях науки.
Таким чином, формула Муавра є потужним інструментом, який знаходить застосування в багатьох наукових дисциплінах і дозволяє спростити і підвищити точність обчислень з комплексними числами.
Крок 2: Приведіть комплексне число до показової форми, використовуючи формулу Ейлера: r(cos θ + i*sin θ), де r - модуль комплексного числа, а θ - його аргумент або кут.
Крок 3: Виведіть формулу Муавра, замінивши показову форму на її еквівалент у тригонометричній формі: r(cos θ + i*sin θ).
Крок 4: Розкрийте дужки у формулі Муавра та спростіть вираз. Висловіть дійсну і уявну частини суми в термінах синусів і косинусів. Наприклад, якщо у формулі Муавра дано вираз (a + bi)^n, тоді розгляньте кожен доданок виду a^m * b^(n-m), де m - ціле число від 0 до n. Спростіть кожен доданок, використовуючи тригонометричні формули (наприклад, cos(a+b)=cos a * cos b - sin a * sin b).
Крок 5: Отримайте кінцевий результат, виражений у тригонометричній формі.
Наприклад, для комплексного числа 2 + 2i в алгебраїчній формі:
Наведемо його до показової форми, використовуючи формулу Ейлера:
θ = arctan(b/a) = arctan(2/2) = π/4
Тепер, знаючи значення r і θ, можемо вивести формулу Муавра:
Приклади використання формули Муавра
Приклад 1:
Розглянемо вираз (1 + i) в ступені 5. Ми можемо використовувати формулу Муавра для обчислення цього виразу. Першим кроком знайдемо модуль і аргумент числа (1 + i). Модуль дорівнює квадратному кореню з суми квадратів дійсної і уявної частин, тобто √(1^2 + 1^2) = √2. Аргумент можна знайти за допомогою функції atan2 з математичної бібліотеки, наприклад, arctan (1/1) = π/4. Тепер застосуємо формулу Муавра: (r * (cos(θ) + i * sin (θ)))^n = r^n * (cos(nθ) + i * sin (nθ)). У нашому випадку отримуємо (√2^5) * (cos(5 * π/4) + i * sin (5 * π/4)) = 4√2 * (-1/√2 + i / √2) = -4 + 4i.
Приклад 2:
Скажімо, нам потрібно знайти 6-й корінь з числа √3/2 + i/2. Знову використовуємо формулу Муавра. Знайдемо модуль числа, який дорівнює квадратному кореню з суми квадратів дійсної і уявної частин: √((√3/2)^2 + (1/2)^2) = √((3/4) + (1/4)) = √1 = 1. Аргумент числа можна знайти за допомогою функції atan2: arctan((1/2)/(√3/2)) = π / 6. Застосовуємо формулу Муавра: (r * (cos(θ) + i * sin(θ)))^(1/n) = r^(1/n) * (cos(θ/n) + i * sin (θ/n)). Отримуємо 1^(1/6) * (cos(π/6) + i * sin(π/6)) = cos(π/36) + i * sin(π/36).
Приклад 3:
Розглянемо вираз (2-3i) в ступені 4. Знайдемо модуль числа: √(2^2 + (-3)^2) = √(4 + 9) = √13. Аргумент можна знайти за допомогою функції atan2: arctan(-3/2) = -1.1071 рад. Застосовуємо формулу Муавра: (r * (cos(θ) + i * sin (θ)))^n = r^n * (cos(nθ) + i * sin (nθ)). Отримуємо (√13^4) * (cos(4 * -1.1071) + i * sin(4 * -1.1071)) = 13^2 * (cos ( -4.4285) + i * sin(-4.4285)) ≈ 14.305 - 20.321 i.
Розрахунок тригонометричних функцій за допомогою формули Муавра
Формула Муавра має наступний вигляд:
(cos φ + i sin φ) n = cos(nφ) + i sin(nφ)
- φ - аргумент комплексного числа;
- n – показник степеня;
- i - уявна одиниця (i 2 = -1).
Для розрахунку тригонометричних функцій за допомогою формули Муавра необхідно виконати наступні дії:
- Знайти значення аргументу числа (φ) і показник ступеня (n) для необхідної функції.
- Обчислити значення виразу nφ.
- Отримане значення розділити на 180 і помножити на π, щоб перейти з градусів в радіани.
- Обчислити значення косинуса і синуса отриманого кута за таблицями або з використанням калькулятора.
- Замінити косинус і синус отриманого кута у формулі Муавра для отримання остаточного результату.
Наприклад, для обчислення значення тригонометричної функції sin (2φ), де φ = 45°:
- У нас дано значення φ, Рівне 45°, і потрібно знайти значення sin(2φ).
- Оскільки ми хочемо обчислити значення sin (2φ), показник ступеня n дорівнює 2.
- Обчислюємо значення виразу nφ: 2 * 45° = 90°.
- Переводимо 90° в радіани: 90° * π/180 = π/2.
- Знаходимо sin (π/2) по таблиці або за допомогою калькулятора – результат дорівнює 1.
- Підставляємо знайдене значення в формулу Муавра: sin(2φ) = sin(π/2) = 1.
Таким чином, sin(2φ) при φ = 45° дорівнює 1.
- Висловили комплексне число в тригонометричній формі.
- Записали формулу Муавра в загальному вигляді.
- Підставили значення з кроку 1 в формулу Муавра.
- Виконали необхідні обчислення, використовуючи властивості тригонометричних функцій.
- Отримали результат у комплексній формі.
Проілюструємо цей процес на прикладі:
Дано комплексне число z = 3 + 4i.
Крок 1: виведемо комплексне число в тригонометричній формі.
Формула Обчислення r = |z| = √(3 2 + 4 2 ) = 5 r = 5 φ = arctg (Im(z) / Re(z)) = arctg (4 / 3) ≈ 53.13° φ ≈ 53.13° Таким чином, комплексне число z = 3 + 4I в тригонометричній формі дорівнює z = 5(cos 53.13° + i sin 53.13°).
Кроки 2-5: Запишемо і вирішимо формулу Муавра.
Формула Муавра Обчислення z n = r n (cos(nφ) + i sin(nφ)) z 3 = 5 3 (cos(3 * 53.13°) + i sin(3 * 53.13°)) z 3 = 125(cos(159.39°) + i sin(159.39°)) z 3 ≈ 125(-0.766 + 0.643i) Таким чином, результатом обчислення формули Муавра для числа z 3 при z = 3 + 4i є комплексне число z 3 ≈ 125(-0.766 + 0.643 i).
Використовуючи дану покрокову інструкцію, ви можете легко вивести формулу Муавра для різних комплексних чисел і ступенів.