Перейти до основного контенту
Інструкції

Що таке загальне і приватне рішення СЛАУ - системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

9 хв читання
2221 переглядів

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАУ) складають важливу частину лінійної алгебри. Вони застосовуються в багатьох областях науки і техніки для вирішення різноманітних завдань. Розуміння основних понять СЛАУ, таких як загальне та приватне рішення, є ключовим для успішного вирішення лінійних систем рівнянь та застосування їх до практичних ситуацій.

Загальне рішення СЛАУ являє собою безліч всіх можливих рішень системи. Якщо система має більше одного рішення, то вона називається невизначений. Загальне рішення СЛАУ зазвичай представляється у вигляді параметричної записи, де деякі змінні виражені через інші, що дозволяє знайти нескінченну безліч рішень системи.

Приватне рішення СЛАУ є одним з рішень системи і може бути отримано шляхом призначення конкретних значень змінним. Приватне рішення використовується для перевірки коректності загального рішення і для знаходження рішення системи з певними значеннями змінних.

Приклади загального і приватного рішення СЛАУ допоможуть краще зрозуміти ці поняття. Рішення СЛАУ може бути представлено у вигляді матриці і вектора: A*X = b, де a - матриця коефіцієнтів, x - вектор невідомих змінних, b - вектор вільних членів системи. Знаючи базисне рішення і вектор вільних членів, можна знайти загальне рішення СЛАУ, використовуючи параметричну запис. Приватне рішення можна знайти, підставивши конкретні значення змінних.

Що таке СЛАУ і як вона вирішується?

Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАУ) являє собою набір рівнянь, в яких всі невідомі входять лінійно, тобто без піднесення до степеня. Кожне рівняння має вигляд:

де aij - коефіцієнти при невідомих, x1, x2, . xn - невідомі, bi - відомі числа.

Рішення СЛАУ означає знаходження значень невідомих x1, x2, . xn, що задовольняють всім рівнянням системи одночасно.

Існують два типи рішень СЛАУ:

  1. Якщо система має єдине рішення, то кажуть, що вона має одне рішення. В такому випадку, значення невідомих можна знайти за допомогою методу Гаусса або методу Крамера.
  2. Якщо система має нескінченну кількість рішень, то кажуть, що вона має нескінченно багато рішень. В такому випадку, значення невідомих можна знайти за допомогою методу Гаусса або методу визначення базисного рішення.

Розв'язувати СЛАУ-це означає привести її до еквівалентної системи, в якій кожне рівняння міститиме лише одну невідому. Потім, за допомогою методів, зазначених вище, можна визначити тип рішення і знайти значення невідомих.

Загальне рішення СЛАУ

Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАУ) являє собою набір рівнянь, де всі невідомі входять лінійно і одночасно. Загальним рішенням такої системи називається набір значень невідомих, при підстановці яких всі рівняння системи будуть виконуватися.

Для знаходження загального рішення СЛАУ спочатку потрібно привести систему до матричного виду. Потім застосовується метод Гаусса: виконуються елементарні перетворення рядків матриці (множення рядка на число, додавання рядків), щоб привести її до ступінчастого виду або до поліпшеного ступінчастого виду.

Після цього можна виразити всі змінні через головні і вільні невідомі. Головні невідомі пов'язані з провідними стовпцями матриці, а вільні - з неведучими стовпцями. Загальне рішення СЛАУ представляється у вигляді лінійної комбінації векторів, де головним незалежним параметром виступає вільна невідома.

Наприклад, система рівнянь:

Може бути приведена до матричного виду:

Після застосування методу Гаусса, система приводиться до ступінчастого виду:

Тут видно, що провідними стовпцями матриці є перший і другий стовпці, а неведущим - третій стовпець. Тому головними невідомими будуть x і y, а вільної - z.

Таким чином, загальне рішення СЛАУ буде представлено у вигляді:

z-вільна змінна

Приклади рішення СЛАУ

Нижче наведені приклади рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАУ) різної складності:

  1. Розглянемо простий приклад: Система: 2x + y = 5 x - 3y = 2 метод вирішення:
    1. Висловимо змінну x через y у другому рівнянні: x = 2 + 3y.
    2. Підставимо вираз для x в перше рівняння: 2 (2 + 3y) + y = 5.
    3. Розкриємо дужки і скоротимо подібні члени: 4 + 6y + y = 5.
    4. Наведемо подібні члени: 7Y = 1.
    5. Розділимо обидві сторони рівняння на 7: y = 1/7.
    6. Підставимо знайдене значення y в вираз для x: x = 2 + 3(1/7).
    7. Спростимо вираз: x = 2 + 3/7.
    8. Складемо дріб і ціле число: x = 17/7.

    Відповідь: x = 17/7, y = 1/7.

    1. Запишемо розширену матрицю системи: |3 2 -1 6| |2 -4 3 2| |1 1 -2 0|
    2. Застосуємо елементарні перетворення рядків для приведення матриці до діагонального виду: |1 1 -2 0| |0 -6 5 -2| |0 0 -13 7|
    3. Розділимо другий рядок на -6 і третій рядок на -13: |1 1 -2 0| |0 1 -5/6 1/3| |0 0 1 -7/13|
    4. Висловимо другу і першу змінні через третю: x = 7/13 y = 1/3 - 5/6(7/13) = 1/3 - 35/78 = -34/78 = -17/39 z = -7/13

    Відповідь: x = 7/13, y = -17/39, z = -7/13.

    Вам також може сподобатися

    Чому необхідна перевірка показань на місці?

    Проведення точних вимірювань і ведення акуратної документації - ключові аспекти успішної роботи в самих різних сферах. Особливо важливо це в.

    Як задовольнити бажання поїсти торт на дієті

    Дотримання дієти може бути складним завданням, особливо коли ти відчуваєш сильне бажання з'їсти щось солодке, наприклад, торт. Але не впадайте у відчай.

    Чи корисно вкривати виноград на зиму під час дощів - рекомендації та поради

    Приховування винограду на зиму: важлива тема для багатьох садівників і виноградарів. Досвідчені садівники знають, що захист рослин від негоди в холодну.

    Як встановити Linux з флешки: вирішення проблем

    Установка Linux з флешки є популярним способом отримати доступ до операційної системи. Однак, іноді в процесі установки можуть виникати.

    • Зворотний зв'язок
    • Угода користувача
    • Політика конфіденційності