Для того щоб знайти критичні точки функції F(x) = x^3 - 9x^2 + 15x, необхідно провести її диференціювання. Диференціюючи функцію одного аргументу, ми отримуємо її похідну. Якщо похідна функції дорівнює нулю, то точка, в якій це відбувається, називається критичною.
Знайдемо похідну функції f (x):
f'(x) = 3x^2 - 18x + 15
Тепер знайдемо коріння похідної, прирівнявши її до нуля:
3x^2 - 18x + 15 = 0
Вирішуючи це квадратичне рівняння, ми отримуємо два значення x: x1 = 1 і x2 = 5.
Таким чином, функція f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x має дві критичні точки: x1 = 1 і x2 = 5.
Визначення функції
Ця функція f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x є кубічною функцією. Кубічна функція визначається рівнянням третього ступеня і має вигляд f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, де коефіцієнти a, b, c і d задають її властивості.
Опис функції f (x)
Графік функції f (x) являє собою криву лінію, яка може бути піднята або опущена щодо осі X в залежності від значень коефіцієнтів.
Для визначення кількості критичних точок на графіку функції f (x) необхідно проаналізувати її похідну. Критична точка на графіку функції визначається як точка, в якій похідна функції дорівнює нулю або не існує.
Критична точка
Для функції f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x необхідно знайти похідну і прирівняти її до нуля:
- Знайдемо похідну функції:
- f'(x) = 3x^2 - 18x + 15
- Прирівняємо похідну до нуля і вирішимо отримане рівняння:
- 3x^2 - 18x + 15 = 0
- x = 1, x = 5
Таким чином, функція має дві критичні точки: x = 1 і x = 5.
Визначення критичних точок
Для функції f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x критичні точки можна знайти, знайшовши її похідну та розв'язавши рівняння F'(x) = 0. В даному випадку, похідна функції дорівнює f'(x) = 3x^2 - 18x + 15. Вирішивши рівняння f'(x) = 0, Ми знайдемо значення x, що відповідають критичним точкам.
Після знаходження значень x, що відповідають критичним точкам, можна аналізувати поведінку функції в околиці цих точок, використовуючи другу похідну f"(x) і теорему Ферма про стаціонарні точки.
Розрахунок критичних точок
Для початку, знайдемо похідну функції F ' (x) = 3x^2 - 18x + 15. Далі прирівняємо похідну до нуля і вирішимо отримане рівняння:
3x^2 - 18x + 15 = 0.
Щоб вирішити це рівняння, можна скористатися квадратним тричленом або застосувати метод повного квадрата. Вирішуючи отримане рівняння, ми знайдемо дві критичні точки функції.
Крім того, потрібно перевірити значення похідної в точках, де вона не існує. Для цього потрібно знайти значення x, при яких знаменник похідної дорівнює нулю. У даній функції знаменник завжди дорівнює 3, і він ніколи не звертається в нуль, отже, функція не має таких точок.
Таким чином, функція f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x має дві критичні точки.
Методика розрахунку
Для обчислення похідної функції f (x), ми використовуємо правило диференціювання статечної функції і правило диференціювання суми і різниці функцій. Похідна функції f (x) дорівнює:
f'(x) = 3x^2 - 18x + 15
Щоб знайти критичні точки функції, ми прирівнюємо похідну функції f'(x) до нуля і вирішуємо отримане квадратичне рівняння:
| Квадратне рівняння | Рішення |
|---|---|
| 3x^2 - 18x + 15 = 0 | x1 = 1, x2 = 5 |
Таким чином, функція f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x має дві критичні точки: x = 1 і x = 5.
Для визначення, чи є критична точка максимумом, мінімумом або точкою перегину, необхідно проаналізувати значення другої похідної функції f"(x) в кожній критичній точці. Якщо f"(x) > 0, то критична точка є точкою мінімуму, якщо f"(x) < 0, то критична точка є точкою максимуму, а якщо f " (x) = 0, то це точка перегину. Однак, в даному рівнянні немає точок перегину, так як немає коренів рівняння F"(x) = 0.
Для розрахунку другої похідної функції f "(x) = 6x - 18, ми диференціюємо похідну функції F'(x). Отримувати:
Підставляємо знайдені критичні точки в рівняння другої похідної, щоб визначити їх характер поведінки:
f"(5) = 6 * 5 - 18 = 12 > 0, отже, x = 5 - це точка мінімуму
Таким чином, функція f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x має одну точку максимуму при x = 1 і одну точку мінімуму при x = 5.
Приклади критичних точок
Для того щоб знайти критичні точки, необхідно знайти значення, при яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.
Для даної функції похідна F'(x) = 3x^2 - 18x + 15.
Щоб знайти критичні точки, прирівняємо похідну до нуля і вирішимо отримане рівняння:
| Рівняння | Рішення |
|---|---|
| 3x^2 - 18x + 15 = 0 | x = 1, x = 5 |
Таким чином, функція f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x має дві критичні точки: x = 1 і x = 5.