Функція f (x) = x^2 + 4x + 5 є квадратичною функцією, яка широко застосовується в математиці і науці. Її основна риса-це її здатність описувати процеси зміни величини за певним законом.
Квадратична функція отримує свою назву через те, що її головний член має ступінь 2. В даному випадку головним членом є x^2. Інші члени, 4x і 5, називаються лінійними. Вони визначають лінійне зростання або спадання функції в залежності від значення x.
Опис функції f (x) = x^2 + 4x + 5:
- Якщо x позитивний, то функція має форму параболи, що відкривається вгору. Вершина цієї параболи знаходиться на мінімальній точці.
- Якщо x негативний, то функція має форму параболи, що відкривається вниз. Вершина параболи є максимальною точкою.
Квадратична функція f (x) = x^2 + 4x + 5 відіграє важливу роль в алгебрі та математичному аналізі. Вона дозволяє моделювати і аналізувати різні процеси, такі як рух тіла, зростання і падіння популяції, зміна цін і багато іншого. Розуміння та використання даної функції може допомогти у вивченні та прогнозуванні різних явищ у світі.
Опис функції f (x) = x^2 + 4x + 5
Коефіцієнт b, рівний 4, визначає зміщення параболи по осі x. якщо b > 0, то парабола зсувається вліво, а якщо b < 0, то парабола зсувається вправо. В даному випадку, так як b дорівнює 4, парабола зсувається вліво.
Коефіцієнт c, рівний 5, визначає зміщення параболи по осі y. Якщо c > 0, то парабола зсувається вгору, а якщо c < 0, то парабола зсувається вниз. В даному випадку, так як c дорівнює 5, парабола зсувається вгору.
Функція f (x) = x^2 + 4x + 5 має вершину параболи, яка знаходиться в точці (-2,1). Це означає, що мінімальне значення функції дорівнює 1 і досягається при x = -2. Також можна відзначити, що функція є позитивно визначеною, так як коефіцієнт при x^2 (a) позитивний.
Для візуалізації даної функції, можна побудувати графік параболи, що відкривається вгору і проходить через точку (-2,1). Нижче наведена таблиця, в якій вказані значення функції при різних значеннях x:
| x | f(x) |
|---|---|
| -3 | 3 |
| -2 | 1 |
| -1 | 1 |
| 0 | 5 |
| 1 | 11 |
| 2 | 19 |
З таблиці видно, що при x = -2 досягається мінімальне значення функції, а при x = 2 - максимальне значення. Всі інші значення функції описують параболічну форму параболи.
Основні характеристики функції f (x) = x^2 + 4x + 5
Парабола: Графік функції є параболою, що відкрилася вгору. Це означає, що функція має мінімум.
Вершина параболи: Вершина параболи, або мінімум функції, можна знайти за формулою x = -b/(2a), де A і b - коефіцієнти перед x^2 і x відповідно. В даному випадку, a = 1, b = 4, тому x = -4/(2*1) = -4/2 = -2. Потім, щоб знайти y-координату вершини, підставимо знайдене значення x назад у функцію: f(-2) = (-2)^2 + 4*(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1. Таким чином, вершина параболи знаходиться в точці (-2,1).
Вісь симетрії: Віссю симетрії параболи є вертикальна пряма, що проходить через вершину параболи. В даному випадку, віссю симетрії є пряма x = -2.
Гілки параболи: Так як парабола відкривається вгору, то вона має дві гілки, які розширюються нескінченно вгору.
Нулі (коріння) функції: Нульовими точками функції є такі точки, в яких значення функції дорівнює нулю. Щоб знайти нулі функції, можна використовувати квадратичне рівняння x^2 + 4x + 5 = 0. Однак, в даному випадку рівняння не має рішень, так як дискримінант D = b^2-4ac = 4^2 - 4*1*5 = 16 - 20 = -4, і негативне значення дискримінанта вказує на те, що рівняння не має реальних коренів.
Табличне значення: Для побудови графіка функції і аналізу її поведінки, можна прорахувати кілька значень f (x) для різних x. наприклад, для x = -3, f(-3) = (-3)^2 + 4*(-3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2. Таким чином, ми отримуємо, що при x = -3, значення функції f(x) дорівнює 2. Аналогічно, можна підрахувати і інші значення f(x) для різних x.
Унікальні особливості функції f (x) = x^2 + 4x + 5
| 1. Вершина параболи | У даній функції парабола спрямована вгору, так як коефіцієнт при змінної x^2 є позитивним числом. Вершина параболи знаходиться в точці (h, k), де h і k можна знайти за формулами: h = -b/(2a) і k = f(h). В даному випадку, вершина параболи буде знаходитися в точці з координатами (-2, 1). |
| 2. Напрямок гілок параболи | Так як коефіцієнт при змінній x^2 позитивний, то парабола спрямована вгору. Це означає, що функція не має мінімуму, але має точку мінімального значення у вершині параболи. |
| 3. Точки перетину з осями координат | Для знаходження точок перетину параболи з осями координат, потрібно прирівняти f(x) до нуля і вирішити отримане квадратне рівняння. В даному випадку, парабола не перетинає вісь Ox, так як її вершина знаходиться вище осі Ox, а перетинає вісь Oy у точці з координатами (0, 5). |
| 4. Гілки параболи симетричні відносно вертикальної прямої, що проходить через вершину параболи | Через наявність симетрії, парабола має вісь симетрії, яка проходить через вершину параболи. Це означає, що для будь-якої точки (x, y) на одній гілці параболи, існує точка (-x, y) на іншій гілці параболи. |
Це деякі з унікальних особливостей функції f(x) = x^2 + 4x + 5. Вивчення цих особливостей дозволяє краще зрозуміти графік параболи і використовувати її для аналізу і вирішення різних математичних задач.