Математика завжди була і залишається однією з найбільш строгих і точних наук. Одне з її основних завдань - доводити різні твердження, в тому числі рівності. У даній статті буде розглянуто доказ рівності при будь-якому натуральному n, яке є фундаментальним для алгебри і аналізу.
Для початку потрібно зрозуміти, що таке рівність в математиці. Рівність-це відношення між двома об'єктами, які повністю збігаються один з одним. У випадку числових значень це означає, що два числа мають однакове значення. Наприклад, ми можемо сказати, що 2 + 2 = 4, тому що два плюс два дає нам чотири.
Тепер розглянемо доказ рівності при будь-якому натуральному n. натуральне число-це додатне ціле число, починаючи з одного. Доказ рівності в даному випадку грунтується на математичної індукції. Індукція-це метод доказу, який базується на тому, що якщо твердження вірно для деякого числа n, то воно вірно і для наступного числа (n + 1).
Вихідні дані
Для доказу рівності при будь-якому натуральному n, візьмемо наступні вихідні дані:
1. n-натуральне число.
2. a-довільне число, яке не залежить від n.
3. b-довільне число, яке не залежить від n.
4. Вираз A (n) = A*n + b.
Перший крок доказу
Першим кроком у цьому доказі є встановлення базового випадку. Базовий випадок-це значення n, для якого твердження має бути істинним. Зазвичай вибирається найменше натуральне число з безлічі натуральних чисел, щоб показати, що твердження дійсно виконується для всіх інших.
Наприклад, припустимо, що ми хочемо довести рівність формули n^2 - n і n(N - 1) При будь-якому натуральному n. в якості базового випадку ми можемо взяти n = 1.
Підставивши n = 1 в обидві формули, ми отримаємо наступне:
Для першої Формули: 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0
Для другої Формули: 1(1 - 1) = 1 * 0 = 0
Як бачимо, обидві формули дають однаковий результат, рівний 0, при n = 1. Це означає, що базовий випадок виконується.
Таким чином, першим кроком доказу є встановлення базового випадку, який показує, що твердження справедливе для найменшого натурального числа n. це є основою для подальшого доведення рівності при будь-якому натуральному n.
Другий крок доказу
Для доказу рівності при будь-якому натуральному n ми скористаємося методом математичної індукції. Другий крок цього доказу полягає в припущенні, що рівність виконується для деякого конкретного значення n=k. далі, ми повинні показати, що рівність виконується і для n=k+1.
Припустимо, що рівність виконується для n=k, тобто сума всіх чисел від 1 до k включно дорівнює k*(k+1)/2. Тепер розглянемо суму всіх чисел від 1 до k+1 включно:
1 + 2 + 3 + . + k + (k+1) =
За припущенням індукції, сума чисел від 1 до k дорівнює k*(k+1)/2, тому її можна замінити:
k*(k+1)/2 + (k+1) =
(k^2 + k + 2k + 2)/2 =
Наведемо подібні складові:
(k^2 + 3k + 2)/2 =
Ми бачимо, що вираз (k^2 + 3K + 2) можна представити у вигляді добутку:
(k+1)*(k+2)/2 =
Таким чином, ми показали, що рівність виконується і для n=k+1. Це завершує другий крок доказу.
Третій крок доказу
На третьому кроці доказу розглянемо ряд n = 1.
Для цього підставимо n = 1 в вираз, яке ми розглядаємо, і переконаємося в його вірності.
Заміна дає наступне:
| (1 + 1) 3 - (1 3 + 3 * 1 2 * 1) | = 2 3 - (1 + 3 * 1) | = 8 - (1 + 3) | = 8 - 4 | = 4 |
Таким чином, при n = 1 рівність виконується.
Також спробуємо розрахувати вираз для інших значень n і переконаємося в його справедливості:
| n | (n + 1) 3 - (n 3 + 3n 2 * 1) |
| 2 | (2 + 1) 3 - (2 3 + 3 * 2 2 * 1) |
| 3 | (3 + 1) 3 - (3 3 + 3 * 3 2 * 1) |
| . | . |
Ми бачимо, що вираз залишається рівним 4 для будь-якого натурального числа n, що доводить наше твердження про рівність при будь-якому n.
Приклад числа n=1
Розглянемо приклад, коли значення змінної n дорівнює 1. Тоді ми повинні довести рівність при даному значенні n. підставимо n=1 в рівняння і перевіримо його:
- Ліва частина рівняння: 2 * (1 + 1) = 2 * 2 = 4
- Права частина рівняння: (1 + 1)(1 + 2) = 2 * 3 = 6
Ми бачимо, що ліва частина рівняння дорівнює 4, а права частина дорівнює 6, Що означає, що рівняння не виконується при n=1. Таким чином, рівність не доведено при даному значенні n.
З цього прикладу ми бачимо, що рівність не виконується при n=1. Однак, це не говорить про те, що рівність не виконується при всіх натуральних значеннях n. для доказу цього твердження необхідно провести більш загальний доказ.
Приклад числа n=2
Для прикладу розглянемо число n = 2. Доказ рівності при даному значенні n можна провести наступним чином:
Нехай дано вираз x = n^2 + 3n - 4. Замінимо n на 2:
Таким чином, при n = 2 виходить, що x = 6, що і доводить рівність при даному значенні n.
Приклад числа n = 3
Завдання: Довести рівність при будь-якому натуральному числі n = 3.
Доказ: Розглянемо вираз лівої та правої сторін рівності:
Ліва сторона: 1 + 2 + 3 + . + n = 1 + 2 + 3 + 3 = 9.
Права сторона: n * (n + 1) * 0,5 = 3 * (3 + 1) * 0,5 = 6 * 4 * 0,5 = 12.
Таким чином, ліва сторона дорівнює 9, а права сторона дорівнює 12. Звідси випливає, що при будь-якому натуральному числі n = 3 виконується рівність 1 + 2 + 3 + . + n = n * (n + 1) * 0,5.
Приклад числа n = 4
Розглянемо твердження: при будь-якому натуральному числі n, сума перших n непарних чисел дорівнює квадрату числа n.
Підставимо число n = 4 в дане твердження:
Сума перших 4 непарних чисел:
Сума: 1 + 3 + 5 + 7 = 16
Квадрат числа n=4: 4^2 = 16
Таким чином, при n=4 твердження вірно.
Приклад числа n = 5
Розглянемо приклад числа n = 5. Для доведення рівності при будь-якому натуральному n ми повинні показати, що ліва і права частини рівності рівні при n=5.
Ліва частина рівності:
Права частина рівності:
Таким чином, при n=5, ліва і права частини рівності рівні 40 і 45 відповідно. Це означає, що рівність вірно при n=5.
Таким чином, ми за допомогою індуктивного методу довели рівність даного твердження при будь-якому натуральному числі n. Саме, ми показали, що у нас є база для індуктивного кроку (натуральне число k) і зробили припущення, що наше твердження виконується для k-го числа. Потім ми застосували індуктивне припущення, щоб довести, що воно виконується для (k+1)-го числа. Таким чином, ми маємо базу індукції та індуктивний крок, що доводить рівність нашого твердження для будь-якого натурального числа n.