Взаємна простота двох чисел означає, що вони не мають спільних дільників, крім одиниці. Довести, що числа 483 і 368 є взаємно простими, ми можемо за допомогою алгоритму Евкліда.
Алгоритм Евкліда заснований на принципі, що найбільший спільний дільник (НОД) двох чисел дорівнює найбільшому спільному дільнику (НОД) залишку від ділення одного числа на інше і дільника цього залишку.
Застосовуючи алгоритм Евкліда для чисел 483 і 368, ми послідовно ділимо одне число на інше і зберігаємо залишок від ділення:
483 = 1 * 368 + 115
368 = 3 * 115 + 23
115 = 5 * 23 + 0
Коли ми отримуємо залишок 0, це означає, що ми знайшли найбільший спільний дільник (НОД) двох чисел. В даному випадку НСД чисел 483 і 368 дорівнює 23.
Числа 483 і 368: взаємна простота
Знаходимо найбільший спільний дільник (НСД) чисел 483 і 368. Для цього скористаємося алгоритмом Евкліда:
483 ÷ 368 = 1 (залишок 115)
368 ÷ 115 = 3 (залишок 23)
115 ÷ 23 = 5 (Залишок 0)
Таким чином, НСД чисел 483 і 368 дорівнює 23. Отже, ці числа не мають спільних дільників, крім одиниці, і, отже, є взаємно простими.
Взаємна простота чисел 483 і 368 означає, що вони не мають спільних простих дільників, що робить їх особливо цікавими для різних математичних та алгебраїчних операцій.
Прості числа та їх властивості
Наступні властивості простих чисел можуть бути використані для визначення, чи є два числа взаємно простими:
- Властивість 1: Якщо два числа є простими, то вони взаємно прості.
- Властивість 2: Якщо два числа не мають спільних дільників, крім 1, то вони взаємно прості.
Тепер розглянемо числа 483 і 368. Щоб довести, що вони взаємно прості, ми повинні перевірити, що вони не мають спільних дільників, крім 1.
Розкладемо обидва числа на прості множники:
- 483 = 3 * 7 * 23
- 368 = 2 * 2 * 2 * 2 * 23
Виходячи з розкладання на прості множники, ми можемо бачити, що у чисел 483 і 368 є тільки один загальний простий дільник - число 23. Але щоб числа були взаємно простими, у них повинні бути тільки спільні дільники значенням 1. Оскільки вони мають спільний дільник, відмінний від 1, можна зробити висновок, що числа 483 і 368 не є взаємно простими.
Таким чином, числа 483 і 368 не є взаємно простими, оскільки вони мають спільний простий дільник 23.
Визначення взаємної простоти
Взаємно простими числами називаються два числа, які не мають спільних дільників, крім одиниці. Тобто їх найбільший спільний дільник дорівнює 1.
Для перевірки взаємної простоти двох чисел 483 і 368, необхідно обчислити їх найбільший спільний дільник. Якщо він дорівнює 1, то числа є взаємно простими, в іншому випадку вони не є взаємно простими.
Таблиця нижче показує обчислення найбільшого спільного дільника (НОД) для чисел 483 і 368:
| Дільник | 483 | 368 |
|---|---|---|
| 1 | 483 | 368 |
| 2 | 241.5 | 184 |
| 3 | 161 | 122.67 |
| 4 | 120.75 | 92 |
| 6 | 80.5 | 61.33 |
| 8 | 60.375 | 46 |
| 12 | 40.25 | 30.67 |
| 16 | 30.1875 | 23 |
| 23 | 21 | 16 |
| 46 | 10.5 | 8 |
| 69 | 7 | 5.333 |
| 92 | 5.25 | 4 |
| 115 | 4.1957 | 3.2 |
| 161 | 3 | 2.29 |
| 242 | 2.8264 | 1.52 |
| НОД | 1 |
З таблиці видно, що найбільший спільний дільник для чисел 483 і 368 дорівнює 1. Отже, числа 483 і 368 є взаємно простими.
Алгоритм пошуку найбільшого спільного дільника
Для пошуку НСД двох чисел, таких як 483 і 368, можна використовувати метод Евкліда. Цей алгоритм полягає в послідовному діленні двох чисел і заміні більшого числа залишком від ділення до тих пір, поки не буде досягнуто рівність залишку нулю. Останнє ненульове число є найбільшим спільним дільником.
Застосовуючи алгоритм Евкліда до чисел 483 і 368, ми отримуємо наступну послідовність:
- Ділимо 483 на 368 і отримуємо залишок 115.
- Ділимо 368 на 115 і отримуємо залишок 23.
- Ділимо 115 на 23 і отримуємо залишок 0.
Таким чином, Останнім ненульовим залишком є 23, отже, найбільший спільний дільник чисел 483 і 368 дорівнює 23.
Так як НСД чисел 483 і 368 дорівнює 23, а НСД є одиницею, то числа 483 і 368 є взаємно простими.
Розкладання чисел на прості множники
Число 483 можна розкласти на множники наступним чином: 483 = 3 * 7 * 23. Таким чином, простими множниками числа 483 є числа 3, 7 і 23.
Число 368 можна розкласти на множники наступним чином: 368 = 2 * 2 * 2 * 23. Таким чином, прості множники числа 368 - це числа 2 і 23.
Наше завдання-визначити, чи є серед чисел 3, 7 і 23 спільні дільники з числами 2 і 23. Однак, оскільки числа 2 і 7 є простими числами і не мають спільних дільників, взаємної простоти між 483 і 368 можна стверджувати без додаткових перевірок.
Таким чином, числа 483 і 368 є взаємно простими числами.
Порівняння розкладів чисел
Перше число 483 можна розкласти наступним чином:
483 = 3 x 7 x 23
Друге число 368 можна розкласти наступним чином:
368 = 2 x 2 x 2 x 2 x 23
З розкладань видно, що у даних чисел є загальний множник 23. Однак, вони не мають інших спільних множників. Таким чином, числа 483 і 368 дійсно є взаємно простими, так як їх найбільший спільний дільник дорівнює 1.
Доказ взаємної простоти чисел 483 і 368
Для доведення взаємної простоти чисел 483 і 368 скористаємося алгоритмом знаходження найбільшого спільного дільника (НСД).
Розглянемо спочатку число 483. Розкладемо його на прості множники: 483 = 3 * 7 * 23.
Тепер розглянемо число 368. Розкладемо його на прості множники: 368 = 2 * 2 * 2 * 2 * 23.
Отримуємо, що НСД(483, 368) = 23.
Таким чином, числа 483 і 368 мають спільний дільник, рівний 23. Взаємна простота двох чисел означає, що їх НОД дорівнює 1.
Підтвердження взаємної простоти методом НОД
НОД-це найбільше число, одночасно ділить обидва числа без залишку.
Для початку знайдемо НСД параметрів 483 і 368. Застосовуючи алгоритм Евкліда, виконуємо наступні кроки:
Крок 1: Ділимо 483 на 368, отримуємо 1 в залишку. Записуємо: 483 = 1 * 368 + 115
Крок 2: Ділимо 368 на 115, отримуємо 3 в залишку. Записуємо: 368 = 3 * 115 + 23
Крок 3: Ділимо 115 на 23, отримуємо 5 в залишку. Записуємо: 115 = 5 * 23 + 0
Отже, останній ненульовий залишок дорівнює 23. Тобто НСД (483, 368) = 23.
Оскільки НОД дорівнює 23, А нод чисел відмінний від одиниці, отже, числа 483 і 368 не є взаємно простими.
Таким чином, ми підтвердили, що числа 483 і 368 не є взаємно простими, на основі методу знаходження НОД.