Parallelogram-це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні. Таким чином, щоб довести, що ANBP є паралелограмом, необхідно довести, що його протилежні сторони паралельні. В даному випадку, для доказу можна скористатися тим, що PMNK є паралелограмом.
Для початку, доведемо, що сторона an паралельна стороні BP. Припустимо, що вони не паралельні, тоді знайдеться точка Q, що належить стороні BP, така що лінія AQ не паралельна лінії BP. Зауважимо, що лінія PM паралельна лінії NK, отже, кут ANP дорівнює куту BPK по відповідних кутах. У той же час, кут ANQ дорівнює куту BPQ, так як вони є вертикальними кутами.
Віднімаючи з ANP кут ANQ, отримуємо, що кут PNQ дорівнює куту BPK. Але ці два кути повинні бути рівні, так як вони відповідні. Виходить, що кут PNQ повинен дорівнювати куту bpq, а це можливо тільки в тому випадку, якщо пряма PQ паралельна стороні NK паралелограма pmnk. Але ми припустили протилежне, а саме, що лінія AQ не паралельна лінії BP. Значить наше припущення було невірним, і сторона AN дійсно паралельна стороні BP.
ANBP та pmnk паралелограми: визначення та властивості
ANBP і PMNK - це назви чотирикутників, які мають особливі властивості.
PMNK є паралелограмом, тому його сторони паралельні і рівні між собою. Це означає, що сторона PM дорівнює стороні NK і сторона MN дорівнює стороні KP. Крім того, протилежні кути паралелограма PMNK також рівні.
ANBP також є паралелограмом. Це означає, що його сторони паралельні і рівні між собою. Таким чином, сторона AN дорівнює стороні BP і сторона AB дорівнює стороні NP. Як і у випадку з PMNK, протилежні кути паралелограма ANBP рівні.
Схема доказу
Для доказу, що паралелограм ANBP, якщо pmnk паралелограм, ми можемо використовувати властивості паралелограмів і докази теореми.
Крок 1: Покажемо, що сторони AN і BP паралельні.
З паралелограма PMNK відомо, що сторони PM і KN паралельні. Отже, сторони NK і MP також паралельні. У паралелограмі ANBP сторона an паралельна стороні NK, а сторона BP паралельна стороні MP. За транзитивності відношення паралельності, сторони AN і BP також паралельні.
Крок 2: Покажемо, що сторони AB і NP паралельні.
З паралелограма PMNK відомо, що сторони PM і KN паралельні. Отже, сторони PM і NK паралельні. У паралелограмі ANBP сторона AB паралельна стороні PM, а сторона NP паралельна стороні NK. За транзитивності відношення паралельності, сторони AB і NP також паралельні.
Крок 3: Покажемо, що кути ANB і BPA рівні.
У паралелограмі PMNK кути KNM і KMP рівні, так як відповідні кути при паралельних прямих рівні. Значить, кути KNM і KMP рівні між собою. У паралелограмі ANBP кути ANB та BPA є вертикальними кутами до кутів KNM та KMP відповідно. Оскільки кути KNM і KMP рівні, кути ANB і BPA також рівні.
Крок 4: Покажемо, що кути PBN і NBA рівні.
У паралелограмі PMNK кути KNP і KPM рівні, так як відповідні кути при паралельних прямих рівні. Значить, кути KNP і KPM рівні між собою. У паралелограмі ANBP кути PBN та NBA є вертикальними кутами до кутів KNP та KPM відповідно. Оскільки кути KNP і KPM рівні, кути PBN і NBA також рівні.
Таким чином, ми довели, що якщо паралелограм PMNK, то ANBP також є паралелограмом.
Приклад доказу
1. У паралелограмі протилежні сторони рівні і паралельні.
З умови задачі відомо, що в паралелограмі PMNK протилежні сторони PM і NK рівні і паралельні.
2. У паралелограмі протилежні кути рівні.
Також відомо, що в паралелограмі PMNK протилежні кути P і K рівні.
3. Діагоналі паралелограма діляться навпіл.
Позначимо точку перетину діагоналей паралелограма ANBP як O. Так як паралелограм PMNK є паралелограмом, діагоналі PM і NK перетинаються в точці O і діляться навпіл. Нехай точка перетину діагоналей PM і NK дорівнює M.
За властивістю діагоналей паралелограма, діагоналі AN і BP також перетинаються в точці O і діляться навпіл. Нехай точка перетину діагоналей AN і BP дорівнює N.
Таким чином, отримуємо, що точка O є серединою обох діагоналей AN і BP. Отже, ANBP-паралелограм.
Зауваження: У даному прикладі було дано тільки одну властивість паралелограма PMNK, але таких властивостей може бути більше, і при доказі паралелограма ANBP використовуються всі відомі властивості паралелограма pmnk.