Паралелограм ABCD є однією з найбільш відомих фігур в геометрії. Ця фігура має безліч цікавих властивостей і зв'язків, які дозволяють проводити різні геометричні докази. У даній статті ми розглянемо одне з таких доказів-доказ паралелограма ABCD.
Завдання доведення паралелограма ABCD полягає в тому, щоб показати, що чотирикутник ABCD є паралелограмом. Для цього необхідно показати, що протилежні сторони паралельні і рівні, а також що протилежні кути рівні. Даний доказ засноване на використанні властивостей паралельних прямих і кутів.
Для початку розглянемо паралельні прямі AB і CD. За властивістю паралельних прямих, кут ADC буде дорівнює куту CBA, а кут BAC буде дорівнює куту DCA. Таким чином, протилежні кути паралелограма ABCD рівні.
Далі, проведемо перпендикуляр AD до прямої BC. Так як паралельним прямим відповідають рівні кути, то кут ADB буде дорівнює куту BCA. Аналогічно, кут CDA буде дорівнює куту DAB. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180 градусам, то кут ADB + BCA + CDA = 180°. Але кути ADB і CDA рівні, отже, кут BCA = кут BDA. Отже, кути BDA та CBA також рівні.
З рівності кутів BDA і CBA випливає, що пряма BC паралельна прямій AD. Також, відповідно до властивості паралельних прямих, протилежні сторони паралелограма рівні. Таким чином, ми довели, що фігура ABCD є паралелограмом.
Таким чином, ми провели доказ паралелограма ABCD, використовуючи властивості паралельних прямих, кутів і протилежних сторін. Це доказ дозволяє переконатися в тому, що задана фігура є паралелограмом і використовувати дану властивість в подальшому вирішенні геометричних задач.
Доказ паралелограма ABCD
- Протилежні сторони паралельні
- Протилежні сторони рівні
- Протилежні кути рівні
1. Протилежні сторони паралельні:
Для цього можна використовувати геометричні методи, такі як виміри кутів і сторін за допомогою інструментів або використання спеціальних формул.
2. Протилежні сторони рівні:
Для перевірки рівності сторін можна використовувати вимірювальні інструменти, такі як лінійка або міри довжини. Необхідно виміряти кожну сторону паралелограма і порівняти їх значення.
3. Протилежні кути рівні:
Для доведення рівності кутів можна використовувати геометричні методи, такі як вимірювання кутів за допомогою транспортира або використання геометричних властивостей фігури.
Умова завдання
Потрібно показати, що паралелограми ABCD і AKNM подібні.
Для цього потрібно:
- Довести, що кути BCD і BAN рівні.
- Довести, що кути BDC і BKN рівні.
- Довести, що кут ADC дорівнює куту ANK.
- З отриманих результатів випливає, що паралелограми ABCD і AKNM подібні з коефіцієнтом k=1/2.
Перший доказ
- Властивість 1: Протилежні сторони паралелограма рівні за довжиною, тобто AB = CD і BC = DA.
- Властивість 2: Протилежні кути паралелограма рівні між собою, тобто ∠A = ∠C і ∠B = ∠D.
- Властивість 3: Діагоналі паралелограма діляться навпіл, тобто AC = BD.
- Твердження 1: Сторони AB і CD паралельні, так як вони рівні між собою за властивістю 1.
- Твердження 2: Сторони BC і DA паралельні, так як вони рівні між собою за властивістю 1.
- Твердження 3: Кути A і c паралельних сторін AB і CD рівні, так як вони рівні між собою за властивістю 2.
- Твердження 4: Кути B і D паралельних сторін BC і DA рівні, так як вони рівні між собою за властивістю 2.
- Твердження 5: Діагоналі AC і BD паралельні, так як вони рівні між собою за властивістю 3.
Таким чином, паралелограми ABCD і abcd доведені паралельними.
Другий доказ
Другий доказ ґрунтується на властивостях паралельних прямих і властивостях кутів, складених прямими і трасерсами.
Для того щоб довести, що паралелограм ABCD є паралелограмом abcd, потрібно довести наступні твердження:
- Пряма AB паралельна прямій CD.
- Пряма BC паралельна прямій AD.
- Пряма AC є трасерсой паралелограма.
- Пряма BD є трасерсой паралелограма.
Для доказу першого твердження можна використовувати властивості паралельних прямих. Якщо AB і CD не є паралельними, то вони перетинаються в точці E. Однак, по аксіомі паралельності, паралельні прямі в площині не можуть мати спільних точок. Таким чином, AB і CD повинні бути паралельними.
Для доведення другого твердження можна використовувати аналогічні міркування. Якщо BC і AD не є паралельними, то вони перетинаються в точці F. Однак, по аксіомі паралельності, паралельні прямі в площині не можуть мати спільних точок. Таким чином, BC і AD повинні бути паралельними.
Для доведення третього твердження можна використовувати властивості трасерсів паралелограма. Трассерсом паралелограма називається пряма, що з'єднує дві вершини, які не є сусідніми. В даному випадку, трасерсом паралелограма ABCD є пряма AC. Для доказу, достатньо показати, що AC перетинає BD. Якщо припустити, що AC і BD не перетинаються, то це буде означати, що AC і BD паралельні, а значить, паралелограми ABCD і abcd буде містити пересічні паралельні прямі, що суперечить визначенню паралелограма.
Доказ четвертого твердження проводиться аналогічно, показуючи, що BD перетинає AC.