Суть доказів полягає в тому, щоб показати, що ядро гомоморфізму є нормальною підгрупою вихідної групи. Для цього нам знадобляться деякі попередні визначення і факти.
Нехай G і H - групи, А φ: G → H - гомоморфізм між ними. Ядром гомоморфізму називається безліч K = g ∈ G, де eH-нейтральний елемент H.
Перший факт, який нам знадобиться, полягає в тому, що ядро гомоморфізму K є підгрупою групи G. Для цього достатньо показати, що K замкнуто щодо операції групи G, що елемент eG належить K і що зворотний елемент кожного елемента K також належить K.
Далі, щоб показати нормальність ядра гомоморфізму, нам потрібно довести, що для будь⁻якого елемента g з G і будь⁻якого елемента k з K, такого що k-1gk належить G, слід, що k-1gk теж належить K. це буде означати, що ядро K інваріантно щодо сполучення, що і є визначенням нормальної підгрупи.
Властивості ядра гомоморфізму
Властивості ядра гомоморфізму включають:
- Нормальність: ядро гомоморфізму завжди є нормальною підгрупою початкової групи. Це означає, що воно замкнуте щодо операції групи і містить Зворотні елементи вихідної групи.
- Ідентифікація: ядро гомоморфізму дозволяє ідентифікувати різні елементи вихідної групи, які переходять в один і той же елемент в цільовій групі.
- Моноїдальність: ядро гомоморфізму утворює моноїд, тобто замкнуте щодо операції моноїда і містить одиничний елемент моноїду.
- Ідеальність: у випадку, коли гомоморфізм є гомоморфізмом кілець, ядро гомоморфізму буде ідеалом вихідного кільця, що дозволяє розглядати його в контексті алгебри.
Вивчення властивостей ядра гомоморфізму є важливою частиною алгебри і дозволяє зрозуміти структуру та зв'язки між різними алгебраїчними об'єктами.
Доказ нормальності
Щоб довести, що ядро гомоморфізму є нормальною підгрупою, необхідно перевірити дві умови:
| 1. Замкнутість щодо множення: |
| Нехай a, b ∈ Ker (ф). Нам потрібно показати, що ab ∈ Ker (ф). Для цього ми можемо скористатися визначенням ядра гомоморфізму та властивостями групи: |
| Так як a, b ∈ Ker (ф), те ф (a) = ф ( b) = e, де e - нейтральний елемент у групі H. |
| Тепер розглянемо ф (ab): |
| ф (ab) = ф (a) ф (b) = ee = e. |
| Таким чином, ab ∈ Ker (ф), і ядро гомоморфізму замкнуте щодо множення. |
| 2. Замкнутість щодо інверсії: |
| Нехай a ∈ Ker (ф). Нам потрібно показати, що a -1 ∈ Ker (ф). Використовуємо визначення ядра гомоморфізму: |
| Так як a ∈ Ker (ф), те ф (a) = e. |
| Тепер розглянемо ф (a -1 ): |
| ф (a -1 ) = ф (a) -1 = e -1 = e. |
| Отож, a -1 ∈ Ker (ф), і ядро гомоморфізму замкнуте щодо інверсії. |
Таким чином, ми показали, що ядро гомоморфізму є нормальною підгрупою групи G. Ці докази дозволяють глибше вивчити властивості гомоморфізмів та їх взаємозв'язок із нормальними підгрупами.