Взаємно простими числами називають такі числа, які не мають спільних дільників, крім одиниці. Числа 715 і 567 обидва є натуральними числами і відносяться до взаємно простих чисел.
Для доказу цього факту візьмемо два числа і перевіримо, чи немає у них спільних дільників, крім одиниці. Розкладемо обидва числа на прості множники:
567 = 3 * 3 * 3 * 7
З розкладання видно, що числа 715 і 567 не мають спільних простих множників, тому вони взаємно прості. Також можна помітити, що найбільший спільний дільник цих чисел дорівнює одиниці, що також говорить про їх взаємної простоті.
Цей факт можна застосувати, наприклад, при вирішенні завдань з дробами. Якщо чисельник і знаменник дробу є взаємно простими числами, то така дріб називається несократимой і її не можна спростити.
Що означає числа бути взаємно простими?
Два числа вважаються взаємно простими, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює 1. Вона являє собою властивість, при якому два числа не мають спільних дільників, крім 1.
Для двох чисел, таких як 715 і 567, щоб довести, що вони взаємно прості, необхідно знайти їх найбільший спільний дільник (НОД). Якщо НСД дорівнює 1, то числа вважаються взаємно простими, якщо ж НСД більше 1, то числа мають спільні дільники і не є взаємно простими.
Взаємно прості числа
У математиці поняття "взаємно простих чисел" означає, що два числа не мають спільних дільників, крім 1.
Для доведення, що числа 715 і 567 є взаємно простими, необхідно перевірити, чи є у них спільні дільники, відмінні від 1. Для цього можна застосувати простий алгоритм:
| Множник | Число 715 | Число 567 |
|---|---|---|
| 1 | 715 | 567 |
| 3 | 238 | 189 |
| 7 | 34 | 27 |
| 17 | 2 | 3 |
Як видно з таблиці, знайшлися загальні дільники чисел 715 і 567 (3 і 17), які не рівні 1. Отже, числа 715 і 567 не є взаємно простими.
Що таке НОД?
Для обчислення НСД існує кілька методів. Одним з найпростіших і найпоширеніших методів є метод Евкліда. Він заснований на наступному принципі: якщо числа A і b діляться на число c без залишку, то залишок від ділення a На B також повинен ділитися на C без залишку. Цей принцип можна використовувати для послідовного знаходження НОД.
Для прикладу, візьмемо числа 715 і 567. Для знаходження їх НОД, ми можемо використовувати метод Евкліда наступним чином:
- Розділимо 715 на 567. Отримуємо залишок 148.
- Розділимо 567 на 148. Отримуємо залишок 83.
- Розділимо 148 на 83. Отримуємо залишок 65.
- Розділимо 83 на 65. Отримуємо залишок 18.
- Розділимо 65 на 18. Отримуємо залишок 11.
- Розділимо 18 на 11. Отримуємо залишок 7.
- Розділимо 11 на 7. Отримуємо залишок 4.
- Розділимо 7 на 4. Отримуємо залишок 3.
- Розділимо 4 на 3. Отримаємо залишок 1.
- Розділимо 3 на 1. Отримаємо залишок 0. Наш НОД дорівнює 1.
Таким чином, НСД чисел 715 і 567 дорівнює 1. З цього випливає, що числа 715 і 567 є взаємно простими.
Доведіть, що числа 715 і 567 взаємно прості
Для знаходження НОДа можна використовувати алгоритм Евкліда.
Алгоритм Евкліда полягає в послідовному діленні більшого числа на менше до тих пір, поки не вийде нуль. На кожному кроці при розподілі виходить залишок, який замінює більше число.
Застосовуючи цей алгоритм до чисел 715 і 567, отримаємо наступні кроки:
- 715 / 567 = 1 (залишок 148)
- 567 / 148 = 3 (залишок 123)
- 148 / 123 = 1 (залишок 25)
- 123 / 25 = 4 (Залишок 23)
- 25 / 23 = 1 (залишок 2)
- 23 / 2 = 11 (залишок 1)
- 2 / 1 = 2 (Залишок 0)
Останнє ненульове число виявляється рівним НОДу, тобто НОД(715, 567) = 1. Це означає, що числа 715 і 567 взаємно прості.