Паралелограм-це особливий чотирикутник, в якому протилежні сторони паралельні. Довести паралельність сторін abcd і amcn для паралелограма можна за допомогою деяких властивостей цієї фігури.
На самому початку розглянемо сторони ab і dc нашого паралелограма. Вони протилежні один одному і паралельні, так як за визначенням паралелограма його боку повинні бути паралельні. Таким чином, ми довели паралельність сторін ab і dc.
Тепер звернемося до сторін am і nc. У паралелограмі протилежні сторони рівні по довжині, а значить, am = dc і nc = AB. Так як ми вже довели паралельність сторін AB і dc, то отримуємо, що також паралельні і сторони am і nc.
Отже, ми довели, що сторони abcd та amcn для паралелограма паралельні. Це властивість допомагає нам у вирішенні різних завдань пов'язаних з паралелограмами і дозволяє нам встановити співвідношення між його сторонами і кутами.
Властивості паралелограма
1. Протилежні сторони паралелограма рівні по довжині. Ця властивість випливає з визначення паралелограма. Сторона ab дорівнює стороні dc, а сторона ad дорівнює стороні bc. Також сторона ab дорівнює стороні ba, а сторона ad дорівнює стороні da.
2. Протилежні кути паралелограма рівні. Кут adb дорівнює куту bca, а кут bad дорівнює куту cdb. Сума кутів adb і bad дорівнює 180 градусів, як і сума кутів bca і cdb.
3. Діагоналі паралелограма діляться навпіл. Діагоналі ac і bd перетинаються в точці m. вони ділять один одного навпіл, тобто ам = мс і bм = мd.
4. Сума кутів паралелограма дорівнює 360 градусів. Кути adb, bca, cdb та bad складають 360 градусів. Це властивість випливає з того, що паралельні прямі кути складені також дають 180 градусів.
Використовуючи ці властивості, можна довести паралельність сторін abcd та amcn у паралелограмі. Для цього необхідно використовувати факт, що в паралелограмі протилежні сторони паралельні і мають однакову довжину, а також те, що діагоналі діляться навпіл.
Ознаки паралелограма
Для простих перевірок на паралельність можна скористатися наступними ознаками:
- Кути при підставі: у паралелограмі кути, утворені підставою і бічною стороною, рівні між собою.
- Діагональ: діагоналі паралелограма ділять його на два рівних трикутника.
- Протилежний бік: протилежні сторони паралелограма рівні за довжиною і паралельні.
- Середня лінія: середня лінія паралелограма паралельна основам і дорівнює напівсумі основ.
Співвідношення сторін і кутів
Властивості паралелограма дозволяють нам вивести важливе співвідношення між сторонами і кутами даної фігури.
1. Протилежні сторони паралелограма рівні по довжині: AB = CD і BC = AD.
2. Протилежні кути паралелограма рівні за величиною: ∠A = ∠C і ∠B = ∠D.
3. Діагоналі паралелограма діляться навпіл: AM = MC і BN = ND.
4. Діагоналі паралелограма поділяються навпіл величинами протилежних кутів: ∠AND = ∠BMC і ∠BNM = ∠CMD.
Використовуючи ці властивості, ми можемо довести паралельність сторін abcd та amcn для даного паралелограма. Це випливає з рівності відповідних сторін і кутів.
Доказ паралельності сторін abcd та amcn для паралелограма
Для початку, звернемося до властивості паралелограма, яке говорить: діагоналі паралелограма діляться навпіл і взаємно перетинаються в точці р.таким чином, діагональ ac ділить сторону ab на дві рівні частини.
Позначимо точку перетину діагоналей паралелограма як точку р.розглянемо трикутники ARP і CRP. Вони мають дві спільні сторони-сторону РR і сторону RP. Крім того, вони мають рівні кути на вершині P, оскільки сторони ab і cd паралельні. Отже, трикутники ARP і CRP рівні з двох сторін і одного кута, що означає, що вони рівнобедрені.
Так як трикутники ARP і CRP рівнобедрені, то їх підстави AR і CR рівні. Тобто сторони ab і cd паралельні і рівні один одному.
Тепер розглянемо трикутники ARP та MNR. Вони мають дві пари паралельних сторін: AP і MN, а також AR і Mr. Крім того, у них рівні кути при вершині P, так як сторони am і cd паралельні. Отже, трикутники ARP та MNR подібні за теоремою однорідних трикутників.
Далі, оскільки трикутники ARP і MNR подібні, це означає, що відповідні сторони цих трикутників пропорційні. З цього випливає, що сторони ab і mn, а також сторони ad і mc, пропорційні. З властивостей паралелограма також випливає, що головні діагоналі паралелограма діляться у відношенні 1:1. Отже, сторони ab і cd паралельні і рівні сторонам mn і MC.
Таким чином, ми довели паралельність сторін abcd та amcn для паралелограма.