У тригонометрії існує таке поняття, як тригонометричне коло. Він являє собою коло, на якій відзначені особливі точки, відповідні геометричним значенням кутів. Одна з таких точок називається 5п 2 або 5π / 2.
Щоб знайти цю точку на тригонометричному колі, потрібно знати, що 5π/2 дорівнює 2π + π/2. Це означає, що 5π/2 знаходиться на осі ординат (вісь y) другого квадранта. Вісь ординат відповідає значенню синуса, а значить, синус 5π / 2 дорівнює -1.
Визначення координат точки на тригонометричному колі
Для визначення координат точки на тригонометричному колі спочатку необхідно задати кут в градусах. Кут відраховується від позитивного напрямку осі ОХ за годинниковою стрілкою.
Потім можна визначити координати точки на колі. Абсциса точки дорівнює синусу заданого кута, а ордината - косинусу цього кута.
Наприклад, якщо заданий кут 30 градусів, то координати точки на тригонометричному колі будуть наступними:
- Абсциса: sin(30°) = 0.5
- Ордината: cos(30°) = √3/2 ≈ 0.866
Таким чином, точка на тригонометричному колі з кутом 30 градусів матиме координати (0.5, 0.866) або (1/2, √3/2).
Дана інформація допомагає у вирішенні безлічі завдань з використанням тригонометрії, а також дозволяє легко знаходити значення синуса і косинуса на тригонометричному колі.
Можна відзначити, що на тригонометричному колі координати точок знаходяться в діапазоні від -1 до 1, і вони відповідають значенням синуса і косинуса для заданого кута.
Опис тригонометричного кола і його координатної системи
Для зручності позначень на окружності обраний один з радіусів – основна одинична окружність. Вона також називається головною або одиничної кругової окружністю.
По головній окружності обрані дві точки-початок відліку кута і точка перетину кола з позитивним напрямком осі абсцис (вісь Х) – точка перетину сектора 0°. Таким чином, тригонометричне коло має початок відліку кута, точку перетину осі абсцис і головну окружність радіусом 1.
В рамках тригонометричного кола використовується спеціальна координатна система-тригонометрична система координат, в якій осі абсцис і ординат прив'язані до головного кола.
Така система координат використовується для опису положення і зв'язків між кутами і їх тригонометричними функціями – синусом і косинусом.
Відзначимо, що на тригонометричному колі, на відміну від декартової системи координат, значення координат задаються не числами, а кутами. Так, точка на тригонометричному колі повністю визначається кутовими координатами.
Точки на тригонометричному колі можуть задаватися в радіанах, градусах або інших одиницях виміру кута. В рамках тригонометричного кола кути змінюються від 0 до 360 градусів або від 0 до 2π радіан відповідно до обраної системою вимірювань.
Як визначити координати точки на тригонометричному колі
Для визначення координат точки на тригонометричному колі необхідно знати кут, за яким ця точка знаходиться щодо позитивного напрямку осі абсцис. Для цього використовуються градуси і радіани.
1. У градусної системі вимірювання, кут відраховується проти годинникової стрілки, де 0 градусів відповідає позитивному напрямку осі абсцис, а 90 градусів - позитивному напрямку осі ординат.
2. У радіанній системі вимірювання, кут відраховується також проти годинникової стрілки, але вимірюється в радіанах. Один радіан дорівнює куту, при якому довжина дуги на колі дорівнює радіусу кола.
Для визначення координат точки на тригонометричному колі використовується тригонометричне коло таблиця:
| Кут | Координата X | Координата Y |
|---|---|---|
| 0° | 1 | 0 |
| 30° | √3/2 | 1/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | 1/2 | √3/2 |
| 90° | 0 | 1 |
| 120° | -1/2 | √3/2 |
| 135° | -√2/2 | √2/2 |
| 150° | -√3/2 | 1/2 |
| 180° | -1 | 0 |
| 210° | -√3/2 | -1/2 |
| 225° | -√2/2 | -√2/2 |
| 240° | -1/2 | -√3/2 |
| 270° | 0 | -1 |
| 300° | 1/2 | -√3/2 |
| 315° | √2/2 | -√2/2 |
| 330° | √3/2 | -1/2 |
| 360° | 1 | 0 |
Використовуючи цю таблицю, можна визначити координати точки на тригонометричному колі по заданому куту.
Використання кута для визначення координат точки
Кут вказується в радіанах і може бути позитивним або негативним. Значення синуса, косинуса і тангенса кута визначається за його координатами на колі. Для цього використовуються наступні формули:
- Синус кута дорівнює y-координаті точки на колі: sin (кут) = y;
- Косинус кута дорівнює x-координаті точки на колі: cos (кут) = x;
- Тангенс кута дорівнює відношенню синуса косинуса: tan(кут) = sin(кут) / cos(кут).
Використовуючи дані формули та вивчаючи значення синуса, косинуса та тангенса на тригонометричному колі, ми можемо точно визначити координати будь-якої точки кола. Це особливо корисно при вирішенні завдань, пов'язаних з тригонометрією.
Приклад знаходження координат точки на тригонометричному колі
Розглянемо приклад знаходження координат точки на тригонометричному колі при заданому куті.
Для початку, потрібно визначитися з кутом. Нехай дано кут α=5π / 2.
Щоб знайти відповідну точку на тригонометричному колі, потрібно використовувати наступні кроки:
- Знайдіть значення синуса та косинуса кута α, використовуючи формули sin(α) = sin(5π/2) та cos(α) = cos (5π/2).
- Обчисліть координати точки на тригонометричному колі, використовуючи знайдені значення синуса та косинуса. Позначимо координати точки як (x, y). Тоді x = cos(α) і y = sin (α).
Підставимо значення кута α=5π / 2 в формули і розрахуємо значення синуса і косинуса:
- sin(5π/2) = sin(π/2) = 1,
- cos(5π/2) = cos(π/2) = 0.
Отже, ми отримали значення синуса і косинуса кута α. Тепер розрахуємо координати точки на тригонометричному колі:
- x = cos(5π/2) = 0,
- y = sin(5π/2) = 1.
Таким чином, координати точки на тригонометричному колі при куті α=5π/2 дорівнюють (0, 1).