Паралелограм-це прямокутник Безуглий або гострокутний. Він є окремим випадком трапеції, у якій обидві пари протилежних сторін паралельні один одному. У паралелограмі є кілька кутів, і дуже цікаво, яка їх сума. Насправді, існує проста і зручна формула для знаходження цієї суми.
Уявімо паралелограм ABCD, де A і з – вершини паралелограма, А В і D – їх протилежні. Він має 4 кута, тому для онго підрахунку нам буде потрібно знати значення трьох кутів. Позначимо їх через α, β і γ. Тоді сума кутів в паралелограмі дорівнює: S = 2 (α + β + γ).
Як виразити аугли через довжини сторін паралелограма? Якщо дано довжини сторін парралелограма: a, B, c і d, то α і γ рівні один одному і виражаються за формулою α = arccos[ (b 2 + d 2 - a 2 - c 2 ) / (2 * b * d) ], і β = 180° - α.
Формули для обчислення суми кутів у паралелограмі
У паралелограмі сума всіх його кутів дорівнює 360 градусів.
Існує кілька формул, що дозволяють обчислити окремі кути в паралелограмі:
1. Кути паралелограма, що лежать протилежно один одному, рівні. Тобто, якщо один кут паралелограма дорівнює α, то другий кут, що лежить навпроти нього, також буде дорівнює α.
2. Кути, суміжні з одним кутом паралелограма, будуть додатковими один до одного. Тобто, сума двох суміжних кутів дорівнює 180 градусам. Наприклад, якщо кут α дорівнює 60 градусам, то сума кутів β і γ, суміжних з кутом α, буде дорівнює 180 градусам.
3. Якщо кут паралелограма α є прямим, то протилежний йому кут також буде прямим. А якщо один кут паралелограма дорівнює α, то сума суміжних кутів дорівнює 180 градусам, а сума протилежних кутів буде дорівнює 360 градусам.
Використання цих формул дозволяє вирішувати різні завдання на обчислення кутів в паралелограмах, які можуть виникати в геометрії.
Кут між протилежними сторонами
У паралелограмі кут між протилежними сторонами називається діагональним кутом.
Для знаходження діагональних кутів паралелограма можна використовувати кілька способів:
- Сполучені кути: якщо один з кутів паралелограма відомий, то діагональний кут можна знайти як суму даного кута і 180 градусів.
- Теорема про суму кутів: у паралелограмі сума двох діагональних кутів дорівнює 180 градусам.
Наприклад, якщо в паралелограмі один з кутів дорівнює 60 градусам, то діагональний кут буде дорівнює 60 + 180 = 240 градусам.
Знаючи значення одного з діагональних кутів, можна знайти другий діагональний кут, використовуючи теорему про суму кутів: якщо один кут дорівнює х градусам, то другий кут буде дорівнює 180 - х градусів.
Сума кутів при вертикальних протилежних кутах
У паралелограмі сусідні сторони паралельні, а протилежні сторони та кути рівні. Якщо в паралелограмі відомий один із вертикальних протилежних кутів, то суму всіх чотирьох кутів можна знайти за допомогою наступного правила: сума кутів при вертикальних протилежних кутах завжди дорівнює 180 градусам.
Для прикладу, розглянемо паралелограм ABCD, де кут A дорівнює 65 градусам. Оскільки кути A і C є вертикальними протилежними кутами, сума всіх кутів паралелограма буде дорівнює 180 градусам.
Кут b, протилежний куту A, також буде дорівнює 65 градусам, а кут d, протилежний куту C, також буде дорівнює 65 градусам.
Підсумовуючи всі кути паралелограма ABCD, отримуємо:
65 + 65 + 65 + 65 = 260
Згідно з правилом суми кутів при вертикальних протилежних кутах, отримана сума дорівнює 180 градусам, що підтверджує наш результат.
Приклади обчислення суми кутів в паралелограмі
Розглянемо кілька прикладів, щоб краще зрозуміти, як обчислити суму кутів у паралелограмі.
Приклад 1:
Дано паралелограм ABCD. Знайдемо суму його кутів.
| Кут | Значення кута (в градусах) |
|---|---|
| Кут A | 60° |
| Кут B | 120° |
| Кут C | 60° |
| Кут D | 120° |
Сума кутів в паралелограмі дорівнює 360°.
Приклад 2:
Є паралелограм XYZW. Знайдемо суму його кутів.
| Кут | Значення кута (в градусах) |
|---|---|
| Кут X | 75° |
| Кут Y | 105° |
| Кут Z | 75° |
| Кут W | 105° |
Сума кутів у паралелограмі XYZW також дорівнює 360°.
Таким чином, сума кутів у паралелограмі завжди дорівнює 360°, незалежно від значень самих кутів.