Розгляд квадратного рівняння може викликати утруднення у деяких людей. Одним з ключових моментів, який потрібно зрозуміти, є визначення існування коренів. Дискримінант відіграє важливу роль у цьому процесі.
Якщо дискримінант більше нуля, то рівняння має два різних кореня. Якщо дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має один корінь. Однак, що відбувається, якщо дискримінант менше нуля?
Поняття дискримінанта
Для квадратного рівняння виду ax 2 + bx + c = 0 дискримінант обчислюється за формулою D = b 2 - 4ac.
Якщо значення дискримінанта більше нуля (D > 0), то рівняння має два різних дійсних кореня. При цьому коріння можуть бути позитивними або негативними в залежності від знаків коефіцієнтів a, b і c.
Якщо значення дискримінанта дорівнює нулю (d = 0), то рівняння має один дійсний корінь, який є загальним для обох половинок квадратного тричлена.
Визначення коренів квадратного рівняння
Визначення коренів квадратного рівняння залежить від значення його дискримінанта, який обчислюється за формулою D = b^2 - 4ac. Дискримінант показує, скільки рішень має рівняння і які вони.
Якщо дискримінант більше нуля (D > 0), то квадратне рівняння має два різних дійсних кореня. Вони обчислюються за допомогою формули x_1 = (-b + sqrt(D))/(2a) і x_2 = (-b - sqrt(D))/(2a), де sqrt(D) - квадратний корінь з дискримінанту.
Якщо дискримінант дорівнює нулю (D = 0), то квадратне рівняння має один дійсний корінь, який можна знайти за допомогою формули x = -b/(2a).
Таким чином, знаючи значення дискримінанта квадратного рівняння, можна визначити кількість і тип коренів цього рівняння.
Основна частина
Якщо дискримінант квадратного рівняння менше нуля, то це означає, що рівняння не має дійсних коренів.
Дискримінант визначається за формулою: D = B^2 - 4ac, де A, B і c - коефіцієнти рівняння ax^2 + bx + c = 0.
Наприклад, якщо дискримінант дорівнює -9, то рівняння має два складні корені: x = (- b ± √(- D))/2a, де i-уявна одиниця (√(-1)), А D = 9. Отже, коріння будуть x_1 = - b/2a-3i/2 і x_2 = - b / 2a + 3i / 2.
Це важливо враховувати при вирішенні квадратних рівнянь з меншим дискримінантом, щоб отримати правильну відповідь і уникнути помилок.
Дискримінант менше нуля: негативні корені
У разі, коли дискримінант негативний, значить рівняння має комплексні корені. Корені квадратного рівняння з негативним дискримінантом виражаються у вигляді a + bi і a - bi, де i-уявна одиниця (√-1).
Такі коріння називаються комплексними. Вони представляються у вигляді суми дійсної і уявної частин. Дійсна частина (a) визначає положення кореня на реальній осі, а уявна частина (bi) відображає його положення на уявній осі.
Наприклад, якщо рівняння має вигляд x^2 + 4 = 0, то його дискримінант D = 16 – 16 = 0. Оскільки дискримінант дорівнює нулю, рівняння має один дійсний корінь x = 0.
Однак, якщо рівняння має вигляд x^2 + 4x + 5 = 0, то його дискримінант D = 16 – 4 * 1 * 5 = -4. Оскільки дискримінант негативний, рівняння не має дійсних коренів, а має складні корені x = -2 + 1i та x = -2 - 1i.
Випадок дискримінанта рівного нулю
Якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнює нулю, то у цього рівняння є тільки один корінь. Такий випадок виникає, коли вершина параболи, що відповідає рівнянню, лежить на осі абсцис, тобто парабола перетинає вісь X тільки в одній точці.
Корінь такого рівняння можна знайти за формулою:
Наявність тільки одного кореня може вказувати на особливі геометричні властивості параболи, заданої рівнянням. Наприклад, якщо вершина параболи знаходиться вище осі X, то графічне представлення рівняння буде виглядати як "захоплення" однієї точки на осі X, яка задає єдиний корінь рівняння.
Випадок дискримінанта більше нуля: дійсні корені
Коли дискримінант більше нуля, це означає, що квадратичне рівняння має два дійсні корені. Для того щоб знайти ці корені, нам потрібно використовувати формулу дискримінанта:
Якщо дискримінант більше нуля, то квадратне рівняння має два дійсних кореня. Формули для знаходження коренів квадратного рівняння виглядають наступним чином:
Де x1 і x2 - коріння квадратного рівняння, a, b і c - коефіцієнти даного рівняння.
Знайдені значення x1 і x2 є дійсними коренями квадратичного рівняння і можуть бути інтерпретовані як значення змінної x, при яких рівняння виконується.
Таким чином, якщо дискримінант більше нуля, то у квадратного рівняння існують два дійсних кореня, які можуть бути знайдені за допомогою формул для знаходження коренів з дискримінанта.