Рівняння динамікиє фундаментальними законами, що описують рух матеріальних точок або системи частинок. Ці рівняння, розроблені Ісааком Ньютоном у 17 столітті, стали основою класичної механіки і є одними з найважливіших рівнянь у фізиці.
Основні рівняння динамікивключають закони Ньютона про рух і взаємодію сил. Перший закон, або закон інерції, стверджує, що тіло продовжує залишатися в спокої або рівномірно прямолінійно рухатися, поки на нього не діє зовнішня сила. Другий закон, або закон про силу і прискорення, встановлює пряму пропорційність між масою тіла, його прискоренням і силою, що діє на нього. Третій закон, або закон взаємодії, говорить, що на кожну дію існує рівна і протилежна протидія.
Приклади застосування рівнянь динаміки можна знайти в багатьох сферах фізики та інженерії.Наприклад, для аналізу руху автомобіля, впливу сили тяжіння на падаючі предмети, розрахунку траєкторії ракети чи супутника в космосі і т.д. Рівняння динаміки також мають широке застосування в механіці твердого тіла, гідродинаміці, електромагнетизмі та інших галузях науки.Розуміння основних рівнянь динаміки дозволяє науковцям та інженерам точніше моделювати та передбачати фізичні явища і є необхідним інструментом у різних наукових і технічних дослідженнях.Рівняння третього закону НьютонаРівняння третього закону Ньютона описує взаємодію двох тіл і виражається наступним чином:Дія (сила), яку одне тіло чинить на інше, дорівнює за модулем, але протилежно за напрямком силі, яку інше тіло чинить на перше.Тобто, якщо тіло A чинить на тіло Б дію силою F, то тіло Б чинить на тіло A дію силою.-F.Це рівняння можна записати наступним чином:де FAB - сила, яку тіло А діє на тіло Б,FBA - сила, яку тіло Б діє на тіло А.Рівняння третього закону Ньютона справедливе для всіх видів взаємодій, включаючи гравітацію, електромагнетизм і тиск газу.Приклади та поясненняПриклад 1:Розглянемо рух тіла масою 2 кг, підвішеного на нитці довжиною 1 метр. При куті відхилення нитки в 45 градусів і відсутності тертя, знайдемо прискорення тіла і силу натягу нитки.Для розв’язання задачі скористаємося рівнянням динаміки:ΣF - сума всіх сил, що діють на тіло,a - прискорення тіла.У даному випадку, силою, що діє на тіло є сила тяжіння, яка спрямована вертикально донизу і дорівнює:g - прискорення вільного падіння (приблизно приймаємо g ≈ 9.8 м/с 2 ).
Кут між ниткою і вертикаллю дорівнює 45 градусів. Розкладемо силу тяжіння на дві складові - по горизонталі та вертикалі:
Сила натягу нитки дорівнює сумі сили, що діє по вектору горизонталі, і сили, що діє по вектору вертикалі:
Визначимо прискорення тіла:
Приклад 2:
Візьмемо тіло масою 1 кг, що рухається по горизонтальній поверхні з тертям. Прикладена сила дорівнює 10 Н. Знайдемо прискорення тіла та коефіцієнт тертя між тілом і поверхнею.
Для розв'язання задачі скористаємося рівнянням динаміки:
Сумою всіх сил, що діють на тіло, є прикладена сила та сила тертя, яка діє в протилежному напрямку руху тіла:
Рівняння можна записати у вигляді:
Для визначення коефіцієнта тертябудемо використовувати друге рівняння, що пов'язує силу тертя та нормальну реакцію поверхнею:μ - коефіцієнт тертя,N - нормальна реакція поверхнею.Вираження для прискорення:Визначимо нормальну реакцію поверхнею:F - μ * m * g = m * aРозкладемо суму сил на складові. Перша складова - прикладена сила, спрямована по горизонталі:Друга складова - сила тертя, що дорівнює наступній:Тоді прискорення тіла дорівнює:Рівняння другого закону НьютонаРівняння можна записати наступним чином:F - сила, що діє на тіло (в ньютонах)m - маса тіла (в кілограмах)a - прискорення тіла (в метрах на секунду в квадраті)У даному рівнянні сила дорівнює добутку маси тіла на його прискорення. Якщо маса тіла виміряна в кілограмах, а прискорення в метрах на секунду в квадраті, то сила буде мати розмірність в ньютонах.Це рівняння використовується для вирішення різних задач, пов'язаних з рухом тіла. Наприклад, його можна застосувати для визначення сили тертя, що діє на тіло, або для визначення сили, з якою тіло діє на інше тіло, що взаємодіє з ним.Приклади та пояснення1. Закон інерції: кожне тіло залишається в стані спокою або рівномірного прямолінійного руху, якщо на нього не діють зовнішні сили. Це рівняння можна представити наступним чином:Сума всіх сил, що діють на тіло, дорівнює нулю.2. Рівняння другого закону Ньютона: сила, що діє на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення. Формула виглядає так:Сила = маса × прискорення3. Третій закон Ньютона: на кожну дію існує рівна і протилежна реакція.направлення реакційна дія. Це рівняння можна сформулювати так:Сила A, що діє на об'єкт B, дорівнює за величиною і є протилежною за напрямком силі B, що діє на об'єкт A.4. Закон збереження імпульсу: сума імпульсів двох взаємодіючих тіл залишається сталою. Формула для обчислення імпульсу виглядає так:Імпульс = маса × швидкість5. Закон збереження енергії: енергія, яка виконує роботу або має механічне значення, зберігається. Це рівняння можна подати в наступному вигляді:Робота + потенційна енергія + кінетична енергія = постійнаТаким чином, основні рівняння динаміки дозволяють визначити та пояснити взаємодію тіл в механіці та використовувати їх для розв’язання задач з динаміки.Рівняння першого закону НьютонаПерший закон Ньютона, також відомий як закон інерції, встановлює, що об'єкти знаходяться в стані спокою або постійного прямолінійного руху до тих пір, поки на них не діють сили.Рівняння першого закону Ньютона можна записати наступним чином:∑F = 0де ∑Fde представляє сумарну силу, що діє на об'єкт, і 0de позначає відсутність прискорення. Формально, це означає, що якщо сума всіх сил, що діють на об'єкт, дорівнює нулю, то об'єкт буде перебувати в стані спокою або рухатися з постійною швидкістю прямою лінією.Рівняння першого закону Ньютона є фундаментальним принципом класичної механіки і дозволяє передбачати рух об'єктів за відсутності зовнішніх впливів.Приклад:Якщо тіло перебуває на гладкій горизонтальній поверхні без тертя, то воно буде знаходитись у стані спокою або рухатиметься рівномірно і прямолінійно, оскільки на нього не діють жодні сили.на нього не діють горизонтальні сили. У цьому випадку, ∑F = 0.Приклади і поясненняНижче наведені кілька прикладів, які допоможуть вам краще зрозуміти основні рівняння динаміки:Приклад 1:Нехай у нас є вантаж масою 2 кг, який рухається по горизонтальній поверхні без тертя. Ми хочемо знайти його прискорення при силі, що діє на нього, рівній 10 Н.Використовуючи другий закон Ньютона, ми можемо записати рівняння:де F - сила, m - маса вантажу, a - прискорення.Підставляючи відомі значення в рівняння, отримуємо:Ділимо обидві частини рівняння на 2 кг:Таким чином, прискорення вантажу дорівнює 5 м/с².Приклад 2:Розглянемо вантаж масою 5 кг, який знаходиться на похилій поверхні під кутом 30 градусів. Ми хочемо знайти силу тертя, що діє на вантаж, якщо його прискорення дорівнює 2 м/с².У цьомув цьому випадку ми можемо використовувати перший закон Ньютона:де ΣF - сума всіх сил, які діють на вантаж.На вантаж діють такі сили: сила тяжіння (m * g) вниз у напрямку нахилу та сила тертя (Fтр) вгору у напрямку нахилу.Ми можемо розкласти силу тяжіння на дві складові: за напрямком нахилу (mg * sinθ) і перпендикулярно нахилу (mg * cosθ).Таким чином, рівняння виглядатиме наступним чином:Fтр - mg * sinθ = m * aПідставляючи відомі значення (m = 5 кг, a = 2 м/с², θ = 30°, g = 9,8 м/с²), отримуємо:Fтр - 5 кг * 9,8 м/с² * sin30° = 5 кг * 2 м/с²Розраховуємо значення sin30°:Fтр - 5 кг * 9,8 м/с² * 0,5 = 10 НДілимо обидві частини рівняння на 5 кг * 0,5:Fтр = 10 Н + 24,5 НТаким чином, сила тертя, що діє на вантаж, дорівнює 34,5 Н.