У математиці існує поняття взаємної простоти чисел, коли їх найбільший спільний дільник дорівнює одиниці. Якщо числа є взаємно простими, то вони не мають спільних дільників, крім одиниці. Цікаво дізнатися, чи є числа 17 і 136 взаємно простими.
Число 17 є простим числом, так як воно має тільки два дільника - 1 і саме число 17. З іншого боку, число 136 не є простим, оскільки воно має кілька дільників. Тому для визначення взаємної простоти чисел 17 і 136 потрібно знайти їх найбільший спільний дільник.
Найбільший спільний дільник (НСД) чисел 17 і 136 можна знайти за допомогою алгоритму Евкліда. Операції ділення з залишком дозволяють нам послідовно знаходити залишок від ділення одного числа на інше, поки не отримаємо нуль. В такому випадку дільник, що вийшов перед нулем, і буде НОДом чисел 17 і 136.
Числа 17 і 136 є взаємно простими
Для знаходження НСД можна скористатися алгоритмом Евкліда. Спочатку ділимо більше число на менше, потім ділимо отриманий залишок на менше число і так далі, поки отриманий залишок не стане рівним 0. На попередньому кроці отримане менше число буде НСД для чисел 17 і 136.
Застосовуючи алгоритм Евкліда до чисел 17 і 136, можна помітити, що:
136 ÷ 17 = 8 (залишок 0)
Таким чином, НСД(17, 136) = 17.
Визначення взаємної простоти
Числа 17 і 136 розглядаються як взаємно прості, якщо і тільки якщо їх НОД дорівнює 1. Для визначення НСД можна скористатися різними методами, включаючи алгоритм Евкліда або розкладання на прості множники.
Алгоритм Евкліда заснований на наступній ідеї: Якщо числа A і b мають спільний дільник c, то a - B ділиться на C. Продовжуючи цей процес, ми можемо знайти НОД двох чисел.
У випадку чисел 17 і 136, ми можемо застосувати алгоритм Евкліда:
- 136 - 17 = 119
- 17 - 8*7 = 17 - 56 = -39
- 119 - 3*(-39) = 196
- 39 - 3*13 = 0
Таким чином, НСД(17, 136) = 1, Що означає, що ці числа є взаємно простими.
Знання того, чи є два числа взаємно простими, може бути корисним у різних сферах, таких як шифрування даних, Теорія ймовірностей, криптографія та інші.
Просте число
Наприклад, число 17 є простим числом, так як його єдині дільники – 1 і 17, і воно не може бути отримано в результаті множення двох цілих чисел.
З іншого боку, число 136 не є простим числом, оскільки має більше двох дільників. Наприклад, 136 можна розділити на 1, 2, 4, 8, 17, 34, 68 і 136.
Таким чином, числа 17 і 136 не є взаємно простими, так як мають спільні дільники.
Ось таблиця, яка демонструє відмінності між простим числом (17) та складеним числом (136):
| Число | Дільник | Просте/Складене |
|---|---|---|
| 17 | 1, 17 | Простій |
| 136 | 1, 2, 4, 8, 17, 34, 68, 136 | Складовий |
Розкладання на прості множники
Число 17:
Саме число 17 вже є простим числом, оскільки воно не має інших дільників, крім 1 і самого себе.
Число 136:
Знайдемо прості множники числа 136:
Таким чином, число 136 можна розкласти на прості множники як 2 * 2 * 2 * 17.
Тепер можна порівняти множники для чисел 17 і 136:
Множники числа 17: 17
Множники числа 136: 2, 2, 2, 17
Як видно з розкладання, числа 17 і 136 не мають спільних простих множників, а значить, вони є взаємно простими числами.
Алгоритм Евкліда
Для знаходження НСД двох чисел алгоритм Евкліда використовує наступний кроки:
- Ділиться більше число на менше число і знаходить залишок.
- Замінює більше число на менше число, а залишок на більше число.
- Повторює кроки 1 і 2 до тих пір, поки залишок не стане дорівнює нулю.
Коли залишок дорівнює нулю, НСД двох чисел дорівнює останньому ненульовому залишку. Якщо НСД двох чисел дорівнює одиниці, то вони є взаємно простими.
Застосовуючи алгоритм Евкліда до чисел 17 і 136, ми отримуємо наступну послідовність залишків:
Таким чином, останній ненульовий залишок дорівнює 2, Що означає, що НОД чисел 17 і 136 дорівнює 2. Оскільки НОД не дорівнює 1, числа 17 і 136 не є взаємно простими.
Числа 17 і 136 не є взаємно простими, так як їх найбільший спільний дільник дорівнює 2.
Обчислення НОД
Для обчислення НСД двох чисел існують різні методи. Одним з найпоширеніших методів є метод Евкліда.
Метод Евкліда заснований на наступному принципі:
Якщо a і b-два числа, і a > B, то НОД(a, b) = НОД(b, a mod b), де mod позначає операцію отримання залишку від ділення.
Для прикладу, розглянемо числа 17 і 136. Щоб обчислити їх НОД, застосуємо метод Евкліда:
НОД (17, 136) = НОД (136, 17) = НОД(17, 7) = НОД(7, 3) = НОД(3, 1) = 1
Таким чином, отримуємо, що числа 17 і 136 є взаємно простими, так як їх НСД дорівнює 1.
Обчислення НОК
Для обчислення НОК двох чисел можна скористатися наступним методом:
| Крок | Дія |
|---|---|
| 1 | Розкласти кожне число на прості множники. |
| 2 | Вибрати найбільшу ступінь кожного простого множника з усіх розкладань. |
| 3 | Помножити всі вибрані прості множники разом. |
Застосовуючи цей метод до чисел 17 і 136, отримаємо наступні розкладання на прості множники:
Вибираємо найбільші ступені простих множників: 17 і 2 3 .
Множачи ці множники, отримуємо НОК(17, 136) = 17 * 2 3 = 136
Таким чином, числа 17 і 136 не є взаємно простими, так як їх НОК дорівнює 136.