Кільце - це алгебраїчна структура, в якій визначені дві бінарні операції - додавання і множення. Кільце складається з безлічі елементів, на якому задані ці операції, і володіє певними властивостями. Додавання в кільці має властивості асоціативності, комутативності і наявності нейтрального елемента - нуля. Множення в кільці також має асоціативність і комутативність, але може бути без нуля. Важливою особливістю кільця є наявність зворотного елемента для складання і можливість дистрибутивного Закону.
Поле - це спеціальне кільце, в якому кожен ненульовий елемент звернемо по множенню. Тобто кожен елемент, відмінний від нуля, має зворотний елемент, який є результатом поділу одиниці на даний елемент. Поле також має властивості асоціативності, комутативності та наявності нейтрального елемента щодо додавання. В поле діють всі розглянуті раніше властивості кільця, а також оборотність кожного ненульового елемента.
Кільця і поля є основними структурами в алгебрі і знаходять застосування в різних областях математики, фізики, інформатики та інших наук. Вивчення цих структур дозволяє вирішувати різні завдання, пов'язані з алгеброю і аналізом. Кільце і поле є базовими поняттями, на яких будуються більш складні і абстрактні математичні конструкції.
Визначення кільця в алгебрі
Для того щоб безліч R з операціями "+" і " · " було кільцем, воно повинно задовольняти наступним умовам:
- Закон складання: Для будь-яких елементів a і b, сума A + B також належить кільцю R.
- Асоціативність складання: Для будь-яких елементів A, B і c з кільця R, сума (a + b) + c дорівнює сумі a + (b + c).
- Існування нульового елемента: У кільці R існує нульовий елемент 0, такий що для будь-якого елемента A з R виконується a + 0 = a.
- Існування протилежного елемента: Для будь-якого елемента A з R існує елемент-A з R, такий що a + (- A) = 0.
- Закон множення: Для будь-яких елементів A і b, твір a * b також належить кільцю R.
- Дистрибутивність множення щодо додавання: Для будь-яких елементів A, B і c з кільця R, добуток a · (b + c) дорівнює сумі добутків a · b і A · C.
Кільце може бути як комутативним, тобто задовольняти закону комутативності множення (a · b = b · a), так і некомутативним. Крім того, кільце може мати одиницю, тобто такий елемент 1, Що 1 · A = A · 1 = A для будь-якого елемента A з кільця.
Визначення поля в алгебрі
Полем в алгебрі називається безліч елементів, для якого визначені операції додавання і множення, що задовольняють певним аксіомам.
Нехай P-множина, на якій визначено дві операції: додавання (+) і множення (·).
Набір P з операцією додавання ( + ) називається абелевою групою, якщо виконуються наступні аксіоми:
| 1) | Комутативність: a + B = b + A для всіх a, b ∈ P. |
| 2) | Асоціативність: (A + b) + c = a + (b + c) для всіх a, B, c ∈ P. |
| 3) | Існування нейтрального елемента: існує такий елемент 0 ∈ P, що a + 0 = a ДЛЯ ВСІХ a ∈ P. |
| 4) | Існування зворотного елемента: для кожного елемента a ∈ P існує елемент-a ∈ p такий, що a + (-A) = 0. |
Множина P з операцією множення ( · ) називається мультиплікативною групою, якщо виконуються наступні аксіоми:
| 1) | Комутативність: a * B = b * A для всіх a, b ∈ P. |
| 2) | Асоціативність: (a · b) · c = a · (b · c) для всіх a, B, c ∈ P. |
| 3) | Існування нейтрального елемента: існує такий елемент 1 ∈ P, що a · 1 = A для всіх a ∈ P. |
| 4) | Існування зворотного елемента: для кожного елемента a ∈ P (a ≠ 0) існує елемент a -1 ∈ P такий, що a · a -1 = 1. |
Множина P є полем, якщо воно одночасно є абелевою групою по додаванню і мультиплікативною групою по множенню, і також виконується дистрибутивний закон: a · (b + c) = (A · b) + (A * c) для всіх A, b, c ∈ P.
Основні характеристики поля
- Замкнутість: У полі будь-які два елементи можна додавати, віднімати, множити та ділити без обмежень. Результат цих операцій також є елементом поля.
- Комутативність додавання і множення: У полі існує властивість комутативності для операцій додавання та множення. При додаванні елементів порядок їх розташування не має значення, тобто a + b = b + a. аналогічно, множення елементів в поле комутативно.
- Існування нейтральних елементів: У полі існують нейтральні елементи для додавання (0) та множення (1). Нейтральний елемент для додавання є нульовим елементом, тобто a + 0 = a.нейтральний елемент для множення є одиничним елементом, тобто a * 1 = A.
- Існування зворотних елементів: У полі кожному елементу можна знайти зворотний елемент щодо операції додавання та множення. Наприклад, для будь-якого елемента a існує елемент-a, такий що a + (- A) = 0. Аналогічно, для кожного ненульового елемента a існує елемент a^-1, такий що a * a^-1 = 1.
- Дистрибутивність: Операція множення в полі дистрибутивна щодо операції додавання. Це означає, що для будь-яких елементів a, B і c виконується властивість a * (b + c) = (a * b) + (a * c).
Ці основні характеристики поля є ключовими для його визначення та використання в різних математичних та алгебраїчних теоріях.