Математика-одна з найбільш захоплюючих і різноманітних наук, в якій часто зустрічаються цікаві і незвичайні поняття. Одним з таких понять є період, з яким знайомляться учні в 8 класі. Період-це важлива основа для розуміння і вирішення різних задач, пов'язаних з розкладанням десяткових дробів і періодичними числами.
У математиці період-це послідовність цифр, яка повторюється нескінченно, коли записується десятковий знак. Часто період позначається крапкою над цифрами, наприклад, 0.666. де 6-періодична цифра. Для вказівки періоду можна використовувати також дужки, наприклад, 0.2(56), де 2 і 5 – не періодичні цифри, а 6 – періодична. Період може складатися з однієї цифри або цілої групи цифр.
Визначення періоду в математиці дозволяє учням легше розбиратися в задачах, пов'язаних з десятковими дробами. Наприклад, при вирішенні рівнянь з періодичними числами або при приведенні десяткових дробів до звичайних, знання визначення періоду допомагає правильно проводити обчислення і отримувати точні результати.
Період в математиці 8 клас:
Наприклад, десятковий запис дробу 1/3 має період 3, так як після коми повторюється набір цифр 3:
Період може бути складений з однієї або декількох цифр. Наприклад, десятковий запис дробу 1/7 має період 142857, так як після коми повторюються цифри 1, 4, 2, 8, 5, 7:
- 1/7 = 0.142857142857.
Основні властивості періоду:
- Періодична десяткова дріб може бути представлена за допомогою десяткових записів з періодом, наприклад, дріб 1/3 = 0.3333.
- Період може починатися відразу після коми, наприклад, дріб 1/6 = 0.1666.
- Період може починатися після деякої кількості незначущих нулів, наприклад, дріб 1/80 = 0.0125
- Якщо в десятковому записі дробу після коми є неперіодична частина, вона називається предперіодом.
Визначення предмета
Наприклад, для числа 0,33333. період - це 3, так як цей період повторюється нескінченно.
Предметом вивчення періоду в математиці є його властивості і застосування в різних задачах і формулах. Знання періодів дозволяє спростити обчислення і аналізувати десяткові дроби.
- Період є раціональним числом. Раціональне число можна представити у вигляді дробу, в якій чисельник і знаменник – цілі числа.
- Період є періодичним десятковим дробом, оскільки його десятковий запис повторюється нескінченно.
Знання предмета "період в математиці" дозволяє учням краще зрозуміти особливості робіт з десятковими дробами і застосовувати їх у вирішенні різних завдань і обчислень.
Приклади періодів
1. Період числа:
Періодом числа називається послідовність цифр, яка повторюється нескінченно при десяткового запису десяткового дробу. Наприклад, десятковий запис числа 1/3 має період 3, так як після коми повторюється нескінченна послідовність цифр 3. А десятковий запис числа 1/7 має період 142857, так як після коми повторюється нескінченна послідовність цифр 142857.
2. Періодичний десятковий дріб:
Періодичної десятковим дробом називається десятковий дріб, у якій після коми повторюється деяка кінцева послідовність цифр (період). Наприклад, 0,333. (0,3 з нескінченним числом трійок) і 0,142857142857. (0,142857 з нескінченним повторенням) є періодичними десятковими дробами.
3. Періодичний десятковий дріб без натуральної частини:
Така десятковий дріб являє собою періодичну десяткову дріб, у якій натуральна частина дорівнює нулю. Наприклад, 0,16 (0,16 з нескінченним повторенням) є періодичним десятковим дробом без натуральної частини.
4. Періодична фракція:
Періодичної фракцією називається звичайна дріб, у якій число доданків в повторюваної групі чисельника і знаменника однаково і яка одночасно є десятковим дробом з періодом. Наприклад, 5/11, 8/33 і 1/13 є періодичними фракціями.
Властивості періодів
Періоди числових послідовностей мають ряд цікавих властивостей, які допомагають нам краще зрозуміти їх поведінку та застосування. Ось деякі основні властивості періодів:
1. Єдиність: кожна числова послідовність може мати лише один період. Це означає, що якщо послідовність повторюється, то вона повторюється з одним і тим же періодом.
2. Мінімальність: період є мінімальним циклічним відрізком послідовності. Це означає, що період не може бути зменшений або збільшений без порушення властивості повторюваності послідовності.
3. Довжина періоду: довжина періоду числової послідовності може бути будь-якою натуральною числовою величиною, включаючи одиницю. Деякі послідовності можуть мати періоди різної довжини.
4. Зміна періоду: Якщо взяти будь-яку числову послідовність і зрушити її на одне або кілька місць вліво або вправо, період залишиться незмінним. Це означає, що зсув не впливає на властивість повторюваності послідовності.
5. Арифметичні властивості: періоди мають зв'язок з арифметичними операціями над числами. Наприклад, сума або різниця двох періодичних послідовностей також буде періодичною послідовністю з періодом, рівним НОК (найменше спільне кратне) вихідних періодів.
6. Залежність від початкового члена: періодична послідовність залежить від свого початкового члена. Для одних початкових членів послідовність може бути періодичною, а для інших - неперіодичною.
Розкладання числа на період і багаторозрядний десятковий дріб
У математиці існує поняття "період", яке відноситься до періодичних або повторюваних послідовностей цифр після коми в десятковому записі числа. Період позначається повторенням самого себе через точку, наприклад, 0.333.
Розглянемо процес розкладання числа на періодичну десяткову дріб. Нехай дано число a, і нам потрібно знайти його десятковий запис у вигляді періоду.
- Наведемо число до неповного десяткового дробу і виділимо дробову частину. Наприклад, якщо число дорівнює 1/3, то десятковий запис буде 0.333.
- Виконаємо розподіл цілої частини числа на його десяткову частину. Для цього помножимо дробову частину на 10 і поділимо на залишок від ділення. У нашому прикладі поділ буде виглядати наступним чином:
31/3 = 0.333. 1 | 3.333. 0 ----- 10 30 ----- 30
3. Повторюємо Крок 2 до тих пір, поки не отримаємо одну з уже зустрічалися залишків. Знайдене число (або числа) між повторюваними залишками утворюють період зазначеної десяткового дробу. У нашому прикладі період дорівнює 3, оскільки після першого поділу ми знову отримуємо залишок 3.
Таким чином, число 1/3 в десятковому записі буде виглядати як 0.333. де період дорівнює 3.
Важливо зазначити, що не всі числа мають періодичний десятковий запис. Наприклад, число 1/2 матиме кінцевий запис 0.5 без періоду.
Знаходження періоду десяткового дробу
Для знаходження періоду десяткового дробу необхідно розкласти її в послідовність десяткових цифр і виділити повторювану групу цифр. Період може мати різну довжину, але завжди буде повторюватися нескінченно.
Розглянемо приклад для наочності:
Дано десятковий дріб 1/3. При розподілі 1 на 3 в стовпчик отримуємо нескінченну десяткову дріб: 0.33333.
В даному випадку період складається з цифри 3 і повторюється нескінченно.
Також деякі десяткові дроби можуть мати кінцевий період. Наприклад, при розподілі 1 на 8 отримуємо десятковий дріб: 0.125.
У цьому випадку період складається лише з однієї цифри 1 і закінчується, тому період є кінцевим.
Важливо зазначити, що раціональні числа (числа, які можна записати як десятковий знак або відношення двох цілих чисел) завжди матимуть період або закінчуватимуться після певної кількості десяткових цифр.
Застосування періодів у вирішенні завдань
Приклади завдань, які можна вирішити за допомогою періодів:
- Розрахунок середнього значення. Якщо в задачі потрібно знайти середню оцінку учня за кілька контрольних робіт, можна використовувати періоди для обчислення суми всіх оцінок і ділення на кількість робіт.
- Визначення періодичності подій. Періоди дозволяють виявити, з якою періодичністю відбуваються певні події, наприклад, повторення погодних явищ або зміни температури протягом року.
- Пошук циклічних залежностей. Якщо в задачі потрібно знайти залежність між величинами, яка повторюється через певні інтервали часу або умови, періоди допоможуть визначити цю залежність.
Властивості періодів дозволяють використовувати їх у вирішенні різних математичних задач, а також знаходити закономірності і встановлювати взаємозв'язки в різних явищах і процесах.