Невизначений інтеграл є одним з важливих понять математичного аналізу. Він дозволяє знайти функцію, похідна якої дорівнює заданій функції. У цій статті ми розглянемо, як обчислити невизначений інтеграл від суми двох функцій.
Формула для обчислення невизначеного інтеграла від суми двох функцій має вигляд:
∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx,
де f(x) і g (x) - функції, для яких необхідно знайти невизначений інтеграл.
Для обчислення невизначеного інтеграла від суми двох функцій потрібно обчислити невизначений інтеграл кожної функції окремо, а потім скласти їх результати.
Розглянемо приклад обчислення невизначеного інтеграла від суми двох функцій. Нехай f(x) = x^2 + 3x, а g (x) = 2x - 1. Знайдемо невизначений інтеграл від f(x) + g (x).
Що таке невизначений інтеграл?
Невизначений інтеграл позначається символом ∫ і записується як ∫f(x)dx, де f(x) – інтегрована функція, а dx – диференціал змінної x.
Для обчислення невизначеного інтеграла використовується процес інтегрування, який полягає у знаходженні функції F(x), такої що F'(x) = F(x). Таким чином, якщо f(x) є початковою функцією, то F(x) є її первісною або антипохідною.
Невизначений інтеграл може бути використаний для вирішення різних завдань, включаючи знаходження площі під кривою, визначення роботи, обчислення вартості товару і багато іншого.
Приклад обчислення невизначеного інтеграла:
| Оригінальна функція f (x) | Первісна F (x) |
|---|---|
| f(x) = 3x^2 | F(x) = x^3 |
| f(x) = 2x + 5 | F(x) = x^2 + 5x + C |
| f(x) = sin(x) | F(x) = -cos(x) + C |
У кожному прикладі первісна F(x) була знайдена шляхом інтегрування вихідної функції F (x).
Важливо відзначити, що невизначений інтеграл має невизначеність у вигляді постійної інтегрування C, яка може бути додана до первісної функції. Це пов'язано з тим, що похідна постійної дорівнює нулю, і тому будь-яка константа може бути додана до первісної функції без зміни її похідної.
Визначення та основні властивості
\[\int (f(x)+g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx\]
Основні властивості невизначеного інтеграла від суми двох функцій:
- Лінійність: \ \ (\\int(cf(x))\\, dx = C \ \ int f(x)\\, dx\\), де \ \ (c\\) - константа.
- Комутативність: \(\int (f(x)+g(x)) \, dx = \int (g(x)+f(x)) \, dx\).
- Асоціативність: \(\int (f(x)+(g(x)+h(x))) \, dx = \int ((f(x)+g(x))+h(x)) \, dx\).
Ці властивості дозволяють спростити обчислення невизначених інтегралів від складних функцій, розбиваючи їх на більш прості.
Як обчислити інтеграл від суми двох функцій?
Формула для обчислення інтеграла від суми двох функцій виглядає наступним чином:
∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
Для вирішення задачі по обчисленню інтеграла від суми двох функцій необхідно розділити Інтеграл на дві частини і обчислити кожну з них окремо. Спочатку інтегруємо першу функцію, потім другу, а потім складаємо результати.
Давайте розглянемо приклад обчислення інтеграла від суми двох функцій:
Обчислимо інтеграл від суми функцій f (x) = 2x + 3 і g(x) = x^2:
∫(2x + 3 + x^2) dx = ∫2x dx + ∫3 dx + ∫x^2 dx
Інтегруємо першу функцію:
Інтегруємо другу функцію:
∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C3
Тепер об'єднуємо результати:
∫(2x + 3 + x^2) dx = x^2 + 3x + (1/3)x^3 + C
Де C1, C2, C3 і C - довільні константи.
Таким чином, ми обчислили інтеграл від суми двох функцій.
Аналогічним чином можна обчислювати інтеграли від суми більшого числа функцій, розділяючи Інтеграл на відповідне число частин і обчислюючи їх по черзі.
Формула для обчислення інтеграла від суми двох функцій
Невизначений інтеграл від суми двох функцій може бути обчислений за формулою:
∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
де ∫ позначає Інтеграл, f(x) і g (x) - дві функції змінної x.
Дана формула дозволяє спростити обчислення невизначених інтегралів від складних функцій, розбиваючи їх на складові і інтегруючи кожну частину окремо.
Розглянемо приклад обчислення інтеграла від суми двох функцій:
| Вираження | Інтеграл |
|---|---|
| ∫(2x^2 + 3x) dx | ∫2x^2 dx + ∫3x dx |
| (2/3)x^3 + (3/2)x^2 + C |
В даному прикладі ми розбили інтеграл від суми двох функцій на два окремих інтеграла, які потім були проінтегровані окремо. Після інтегрування кожної частини, ми отримали результат у вигляді алгебраїчної суми цих інтегралів з постійною C, яку зазвичай позначають як довільну константу.
Приклад 1: обчислення невизначеного інтеграла від суми двох функцій
Розглянемо приклад обчислення невизначеного інтеграла від суми двох функцій. Нехай дано функції f(x) = x^2 і g (x) = 3x. необхідно обчислити інтеграл від(F(x) + g (x))dx.
Для початку, за властивістю лінійності інтеграла, ми можемо розділити суму на два інтеграли: інтеграл від f(x)dx і інтеграл від g(x)dx.
Інтеграл від f (x)dx дорівнює (1/3)x^3 + C1, де C1 - довільна константа.
Інтеграл від g (x)dx дорівнює (3/2)x^2 + C2, де C2 - довільна константа.
Тоді інтеграл від(f(x) + g(x))dx дорівнює сумі інтегралів від f(x) і g (x), тобто ((1/3)x^3 + C1) + ((3/2)x^2 + C2), що можна спростити до (1/3)x^3 + (3/2)x^2 + (C1 + C2), де C1 і C2 - довільні константи.
Таким чином, невизначений інтеграл від (f(x) + g(x))dx дорівнює (1/3)x^3 + (3/2)x^2 + C, де C - довільна константа.
Наведена формула для обчислення невизначеного інтеграла від суми двох функцій дозволяє нам ефективно знаходити інтеграли від складних виразів, розбиваючи їх на більш прості компоненти і використовуючи властивість лінійності інтеграла.
Приклад 2: обчислення невизначеного інтеграла від суми двох функцій
Уявімо, що нам потрібно обчислити невизначений інтеграл із суми двох функцій: f(x) = 2x + 3 і g(x) = x^2 + 4x.
Перш ніж приступити до обчислень, ми повинні знати основні правила диференціювання та інтегрування функцій. В даному випадку ми будемо використовувати наступне правило:
Якщо F(x) і G(x) - первісні функцій F(x) і g(x) відповідно, то первісна функції f(x) + g(x) дорівнює F(x) + G (x) + C, де C - довільна постійна.
Тепер ми можемо приступити до вирішення другого прикладу. За даним правилом, для даного випадку первісна від f (x) = 2x + 3 буде дорівнює:
F(x) = x^2 + 3x + C1
А первісна від g (x) = x^2 + 4x буде дорівнює:
G(x) = (1/3)x^3 + 2x^2 + C2
Отже, первісна від суми двох функцій f (x) і g (x) дорівнює:
F(x) + G(x) + C = (1/3)x^3 + x^2 + 3x + C1 + C2 + C
де C-довільна постійна. Таким чином, ми отримали вираз для невизначеного інтеграла від суми двох функцій f(x) і g(x).
Приклад 3: обчислення невизначеного інтеграла від суми двох функцій
Для початку, скористаємося властивістю лінійності невизначеного інтеграла і розіб'ємо задачу на дві окремі інтеграції:
∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
Першим інтегралом буде ∫f (x) dx:
∫f(x) dx = ∫(x^2 + 3x + 2) dx
Для вирішення цього інтеграла ми використовуємо правило влади:
Застосовуючи це правило для кожного доданка, отримуємо:
∫(x^2 + 3x + 2) dx = (x^(2+1))/(2+1) + (3x^(1+1))/(1+1) + 2x + C
Спрощуючи вираз, отримуємо:
∫(x^2 + 3x + 2) dx = (x^3)/3 + (3x^2)/2 + 2x + C
Отже, першим інтегралом буде (x^3)/3 + (3x^2) / 2 + 2x + C, де C - довільна константа.
Тепер розглянемо другий Інтеграл ∫g (x) dx:
∫g(x) dx = ∫(2x - 1) dx
Спрацює лінійне правило:
Застосовуємо це правило, і отримуємо:
∫(2x - 1) dx = (2/2)(x^2) - (1/1)x + C
∫(2x - 1) dx = x^2 - x + C
Таким чином, другим інтегралом буде x^2 - x + C, де C - довільна константа.
Отже, підсумковим рішенням завдання буде:
∫(f(x) + g(x)) dx = (x^3)/3 + (3x^2)/2 + 2x + (x^2 - x + C) = (x^3)/3 + (5x^2)/2 + x + C
Де C-довільна константа, яка з'явилася при обох інтеграціях.