Вирішення квадратних нерівностей з негативним дискримінантом є однією з важливих задач в алгебрі. У даній статті ми розглянемо, як знаходити коріння подібних нерівностей і будувати графіки їх рішень.
Для початку, давайте згадаємо основні поняття квадратних нерівностей. Квадратна нерівність має вигляд ax^2 + bx + c > 0, Де a, b і c - коефіцієнти квадратичного рівняння. Для вирішення нерівностей з негативним дискримінантом потрібно знайти такі значення x, при яких ліва частина нерівності буде позитивною.
Спочатку знаходимо коріння квадратного рівняння способом, застосовуваним для позитивного дискримінанта. Потім, використовуючи значення коренів, розбиваємо координатну пряму на інтервали. Далі, на кожному інтервалі вибираємо одну точку і перевіряємо її значення в початковому нерівності. Якщо значення позитивно, то інтервал входить в область рішень. Нарешті, ми будуємо графік отриманої області та вказуємо на приналежність нерівності до кожного інтервалу.
Методи вирішення квадратних нерівностей з негативним дискримінантом
Існує кілька методів вирішення квадратних нерівностей з негативним дискримінантом:
- Метод інтервалів.
- Метод пошуку вершин.
- Метод заміни змінних.
1. Метод інтервалів:
2. Метод пошуку вершин:
Спочатку ми знаходимо вершину параболи, що відповідає квадратному рівнянню ax^2 + bx + c = 0. Потім ми аналізуємо знак коефіцієнта a і позицію вершини на осі координат. Залежно від цих факторів, ми визначаємо знак нерівності і вирішуємо квадратне нерівність.
3. Метод заміни змінних:
З використанням цього методу, ми робимо заміну змінних, щоб перетворити квадратне нерівність з негативним дискримінантом в квадратне нерівність з позитивним дискримінантом. Потім ми вирішуємо отриману квадратну нерівність з позитивним дискримінантом за допомогою відомих методів.
Використовуючи ці методи, ми можемо ефективно вирішувати квадратні нерівності з негативним дискримінантом і визначати значення x, при яких вони виконуються.
Метод повного квадратного тричлена
Для застосування методу повного квадратного тричлена до рівняння виду ax^2 + bx + c < 0, де a ≠ 0, слід виконати наступні кроки:
1. Перевірити, що коефіцієнт a негативний, інакше рішення нерівності не існує.
2. Знайти вісь симетрії параболи, заданої рівнянням ax^2 + bx + c = 0. Для цього знайдемо вершину параболи, використовуючи формулу x = -b/2a.
3. Побудувати графік параболи і відзначити вісь симетрії.
4. Визначити, в яких точках парабола перетинає вісь абсцис. Для цього вирішимо рівняння ax^2 + bx + c = 0. Якщо коріння рівняння дійсні, то це точки перетину параболи з віссю абсцис.
5. Визначити, в якому інтервалі парабола знаходиться під віссю абсцис. Для цього обчислимо значення параболи в довільній точці з кожного інтервалу і порівняємо з нулем. Інтервали, де значення параболи негативне, будуть задовольняти нерівності ax^2 + bx + c < 0.
6. Запишемо відповідь у вигляді інтервалів або об'єднання інтервалів.
Застосування методу повного квадратного тричлена дозволяє вирішувати квадратні нерівності з негативним дискримінантом без використання формули дискримінанта і без факторизації.