Решето Ератосфена: способи знаходження простих чисел

У математиці існують різні методи пошуку простих чисел, одним з яких є метод, відомий як "Решето Ератосфена". Це алгоритм, який дозволяє знайти всі прості числа до заданого числа.

Метод заснований на принципі виключення: спочатку створюється список всіх чисел від 2 до заданого числа, потім числа, кратні 2, виключаються зі списку, потім числа, кратні 3, і так далі. Числа, які залишаться в списку після завершення процесу, будуть простими числами.

Цей метод отримав свою назву на честь давньогрецького математика Ератосфена Кіренського, який жив у III столітті до н.е. він першим запропонував цей алгоритм у своїй роботі з теорії чисел.

Решето Ератосфена

Принцип роботи решета Ератосфена заснований на послідовному викреслюванні всіх кратних чисел, починаючи з двійки. Після чого все не викреслені числа залишаться простими.

Алгоритм решета Ератосфена можна представити у вигляді таблиці. Для початку необхідно створити таблицю з числами від 2 до n, де n - верхня межа діапазону. Потім потрібно викреслити числа, починаючи з 2, шляхом поелементного перемноження кожного числа з числами, які кратні йому. Після цього, необхідно повторити процес для наступного не викресленого числа і повторювати його, поки не будуть перевірені всі числа з діапазону.

Після завершення алгоритму, все не викреслені числа залишаться простими і можна вважати, що ми отримали всі прості числа в заданому діапазоні.

Таким чином, решето Ератосфена є ефективним алгоритмом для знаходження простих чисел, заснованим на їх кратності.

Визначення алгоритму

1. Створюється список всіх чисел від 2 до заданого числа N.

2. Починаючи з числа 2, воно позначається як просте число, а всі його кратні числа викреслюються зі списку.

3. Переходимо до наступного непоміченого числа і повторюємо Крок 2.

4. Повторюємо кроки 2 і 3, поки не пройдемо по всіх числах в списку.

Після закінчення алгоритму всі залишилися в списку числа є простими числами.

Для зручності застосовується подання таблицею, де стовпці позначають числа, а рядки - кроки алгоритму. У кожній клітинці таблиці вказується, чи позначено число як просте або викреслено зі списку.

Де " П "позначає, що число позначено як просте, А" Н " - що число викреслено зі списку.

Решето Ератосфена є ефективним способом знаходження простих чисел, так як не вимагає перевірки кожного числа на подільність, а тільки викреслює складові числа зі списку.

Кроки алгоритму

Алгоритм Решета Ератосфена базується на ідеї пошуку всіх простих чисел до заданого числа N. Нижче наведені основні кроки даного алгоритму:

• Створити список чисел від 2 до N.
• Встановити початкове значення змінної p рівним 2.
• Позначити всі числа, кратні p,як складені.
• Знайти перше непомічене число в списку, наступне після p, і встановити його значення рівним p.
• Повторити кроки 3-4 для всіх непомічених чисел до N.
• Усі непомічені числа у списку є простими числами.

Алгоритм Решета Ератосфена дозволяє ефективно знаходити прості числа до заданого значення N. Він заснований на принципі виключення складових чисел і дозволяє скоротити кількість перевірок під час пошуку простих чисел.

Приклад використання

Для наочного прикладу використання Решета Ератосфена представимо таблицю розміром 10x10, в якій хочемо знайти всі прості числа.

Застосовуючи алгоритм Решета Ератосфена, будемо викреслювати всі числа, які діляться на прості числа до кореня з найбільшого числа, в даному випадку - до 10. Залишаться тільки прості числа: 2, 3, 5, 7.