У 7 класі учні вивчають основи алгебри та геометрії, а однією з ключових тим є графік функції. Графік функції-це візуальне представлення залежності між значеннями двох величин, де одна величина залежить від іншої. На графіку можна побачити, як змінюються значення функції зі зміною незалежної змінної.
Щоб побудувати графік функції, необхідно знати її рівняння. Рівняння функції зазвичай задається у вигляді y = F (x), де y - залежна змінна, а x - незалежна змінна. Визначивши значення x, можна обчислити відповідні значення y і відзначити точки на графіку.
Визначення графіка функції
Зазвичай графік функції представляється на координатній площині. Горизонтальна вісь називається віссю абсцис, а вертикальна вісь – віссю ординат. Точка перетину осей називається початком координат і має координати (0,0).
Щоб побудувати графік функції, необхідно знати, які значення приймає функція при різних аргументах. Для цього можна скласти таблицю значень, де вказати значення аргументів і відповідні їм значення функції.
Потім, використовуючи ці значення, можна побудувати точки на координатній площині і з'єднати їх ламаною лінією. Отримана ламана лінія і буде графіком функції.
Графік функції як набір точок
Коли ми будуємо графік функції, ми розбиваємо вісь аргументу на рівні інтервали і знаходимо значення функції для кожного з цих значень аргументу. Потім ми з'єднуємо отримані точки на графіку і отримуємо її безперервну лінію.
Наприклад, нехай у нас є функція y = 2x+1. Щоб побудувати її графік, ми можемо вибрати кілька значень аргументу, наприклад, x = 0, 1, 2, 3, і так далі. Потім, підставляючи ці значення аргументу у функцію, ми знаходимо відповідні значення функції y: 2*0+1=1, 2*1+1=3, 2*2+1=5, і так далі.
Отримані значення пар (x, y) є точками, які ми відзначаємо на графіку. Потім ми з'єднуємо ці точки безперервною лінією, отримуючи графік функції y = 2x+1.
Робота з довільним графіком функції
У 7 класі учні починають знайомитися з поняттям функції і її графіком. На даному етапі навчання учням пропонується працювати з простими графіками, такими як графік прямої лінії або графік параболи.
Однак у наступних класах вони вивчать більш складні функції та їх графіки, які можуть бути довільними. Робота з такими графіками вимагає від учня навичок аналізу та інтерпретації інформації.
Для роботи з довільним графіком функції учневі необхідно виконати наступні кроки:
| 1. | Вивчити основні характеристики графіка. Розгляньте, як змінюється функція в різних областях значення аргументу. Визначте, де функція зростає, зменшується або має особливі точки, такі як екстремуми або точки перегину. |
| 2. | Визначити асимптоти, якщо вони є. Асимптоти-це прямі, які графік функції наближається до нескінченності. Визначте які асимптоти присутні і знайдіть їх рівняння. |
| 3. | Побудувати таблицю значень функції. Виберіть кілька значень аргументу в заданому інтервалі і обчисліть відповідні їм значення функції. Запишіть ці значення в таблицю. |
| 4. | Побудувати графік функції. Використовуйте побудовану таблицю значень для позначення точок на координатній площині. З'єднайте позначені точки лінією, щоб отримати графік функції. |
Отриманий графік функції допоможе студенту краще зрозуміти характеристики та поведінку функції в різних областях значень аргументу. Це допоможе йому глибше вивчити математичну модель і виявити її особливості.
Робота з довільним графіком функції вимагає від учня терпіння, вміння аналізувати інформацію і застосовувати математичні концепції. Однак, ці навички дозволять учневі краще розібратися в математичному аррараті і досягти успіху в подальшому навчанні.
Точки екстремуму на графіку функції
На графіку функції можна виділити точки, де функція досягає своїх максимальних і мінімальних значень. Ці точки називаються точками екстремуму.
Для визначення точок екстремуму функції необхідно проаналізувати її поведінку в околиці кожної точки. Якщо в якійсь околиці функція змінює свою опуклість (стала увігнутою, а потім опуклою або навпаки), то в цій точці є екстремум.
Існують два типи екстремуму: максимум і мінімум. Максимум - це точка, в якій функція приймає найбільше значення і над нею знизу, а мінімум-точка, в якій функція приймає найменше значення і над нею знизу.
Для визначення типу екстремуму використовуються похідні функції. Якщо похідна негативна зліва від точки, а позитивна справа, то це точка мінімуму. Якщо похідна позитивна зліва від точки, а негативна справа, то це точка максимуму.
Вивчення точок екстремуму на графіку функції дозволяє нам зрозуміти, де функція досягає своїх найбільших і найменших значень, а також виділити інтервали, де функція опукла або увігнута. Ця інформація є важливою для аналізу та розуміння поведінки функції в різних областях.
Зміна графіка функції при зміні функції
Коли ми говоримо про графік функції, ми маємо на увазі візуальне представлення залежності між вхідними та вихідними значеннями функції. Змінюючи функцію, ми можемо спостерігати зміну графіка, що допомагає нам краще зрозуміти властивості функції та її поведінку в різних точках.
Функції можуть мати різні форми графіків, які залежать від їх математичного вираження. Наприклад, лінійна функція є прямою лінією, параболічна функція утворює параболу, а тригонометрична функція може мати різні криві. Крім того, зміна параметрів функції, таких як коефіцієнти при змінних або зсув, може призвести до зміни графіка.
| Функція | Графік |
|---|---|
| Лінійна функція: y = mx + b | |
| Параболічна функція: y = ax^2 + bx + c | |
| Тригонометрична функція: y = sin (x) |
Коли ми змінюємо параметри функції, ми можемо змінити її графік. Наприклад, збільшення коефіцієнта при змінній в лінійній функції зробить її графік більш крутим або пологим. Зсув функції вліво або вправо може змінити положення графіка на горизонтальній осі.
Зміна функції також може спричинити зміну кількості коренів функції або їх положення на графіку. Наприклад, якщо додати константу до функції, це призведе до зсуву графіка вгору або вниз. Якщо ми змінюємо знак перед змінною, це може змінити напрямок графіка.
Таким чином, зміна функції може викликати різні зміни її графіка. Розуміння цих змін допомагає нам глибше вивчати функції та використовувати їх у різних математичних задачах.
Кусочно-заданий графік функції
На такому графіку функція може змінюватися в різних областях визначення і мати різні поведінки в кожній з них. Він зазвичай використовується для опису функцій, які мають розриви, перепади або змінюють своє визначення в різних точках. Такі функції можуть бути складними і вимагати аналізу декількох випадків.
Важливо пам'ятати, що кожен відрізок графіка функції повинен бути строго визначений і відповідати заданій умові. На графіку може бути кілька відрізків, кожен з яких задається своїм виразом або умовою.
Графіки кусочно-заданих функцій часто містять різні типи ліній і точок, щоб показати зміни в значенні функції. Наприклад, розриви можуть бути позначені вертикальною лінією, а зміна визначення - точкою або колом на лінії.
Аналіз і побудова кусочно-заданого графіка функції включає в себе виявлення області визначення, визначення умов для кожного відрізка і побудова відповідного графіка на координатній площині.