Трикутник вписаний в коло, коли всі його вершини лежать на колі. Це створює особливі властивості і відносини в цьому трикутнику. В одне з таких трикутників можна вписати різні фігури, такі як прямокутний або рівносторонній трикутник. Одне з таких важливих питань, яке можна задати, полягає в тому, скільки градусів знаходиться в трикутнику, вписаному в окружність.
Незалежно від типу трикутника, вписаного в коло, сума всіх кутів в трикутнику завжди дорівнює 180 градусам. Це означає, що навіть якщо трикутник вписаний в коло, у нього все ще буде така ж сума кутів, як і у звичайного трикутника. Іншими словами, сума всіх трьох кутів трикутника, вписаного в коло, завжди буде дорівнює 180 градусам.
Таким чином, відповідь на питання про кількість градусів в трикутнику, вписаному в коло, залежить від самого трикутника. Для різних трикутників у цій конкретній категорії відповідь буде різною. Однак, сума кутів завжди буде дорівнює 180 градусам, незалежно від типу трикутника.
Градуси в трикутнику вписаному в коло
Градуси в трикутнику вписаному в коло мають свою особливу особливість. Вся сума кутів трикутника, вписаного в коло, завжди дорівнює 180 градусам. Це незалежно від розмірів трикутника або радіуса кола.
Таким чином, якщо в трикутнику вписаному в коло один кут дорівнює 90 градусам (прямий кут), то сума двох РЕШТИ кутів становитиме 90 градусів.
Якщо в трикутнику вписаному в коло немає прямих кутів, то сума всіх кутів становитиме 180 градусів, дозволяючи розрізняти трикутники як гострокутні, тупокутні або рівносторонні.
Знання цього правила допомагає у вирішенні різних завдань пов'язаних з трикутниками вписаними в окружності і дозволяє отримувати більш точні результати з використанням геометричних викладок.
Визначення трикутника вписаного в коло
Центральними кутами трикутника вписаного в коло називаються кути, вершини яких лежать на колі, а сторони проходять через центр кола. Такі кути вимірюються в градусах від 0 до 180.
Примітка: У разі, коли трикутник вписаний в коло, головний кут трикутника, утворений діаметром кола і будь-який зі сторін трикутника, завжди дорівнює 90 градусам.
Сума кутів трикутника вписаного в коло
Нехай дано трикутник ABC, вписаний в коло з центром O. Проведемо радіуси OA, OB і OC, які будуть променями, що виходять з центру кола і перетинають сторони трикутника ABC.
| Кут | Позначення | Опис |
|---|---|---|
| ∠A | Кут А | Кут при вершині A |
| ∠B | Кут В | Кут при вершині B |
| ∠C | Кут З | Кут при вершині C |
Згідно властивостям трикутника вписаного в коло, кожен з кутів ∠A, ∠B і ∠C буде дорівнює половині сотого кута, що складається одним променем, що з'єднує центр кола O з вершиною і стороною трикутника:
| Кут | Позначення | Значення |
|---|---|---|
| ∠A | Кут А | ∠AOB / 2 |
| ∠B | Кут В | ∠BOC / 2 |
| ∠C | Кут З | ∠COA / 2 |
Таким чином, сума всіх трьох кутів ∠A + ∠B + ∠C дорівнює:
∠AOB / 2 + ∠BOC / 2 + ∠COA / 2 = (∠AOB + ∠BOC + ∠COA) / 2 = 180° / 2 = 180°
Отже, сума кутів трикутника, вписаного в коло, завжди дорівнює 180 градусам.
Одна сторона трикутника вписаного в коло
Для трикутника вписаного в коло, кожна сторона є хордою. З властивостей кола випливає, що хорда, що проходить через центр кола, є діаметром.
Таким чином, якщо одна зі сторін трикутника вписаного в коло є діаметром кола, то кут, протилежний цій стороні, буде прямим кутом - 90 градусів.
Однак, якщо одна зі сторін трикутника не є діаметром кола, то кут, протилежний цій стороні, може бути будь-яким. Для знаходження кута в даному випадку можна використовувати теорему про вписаних кутах.
Два кута трикутника вписаного в коло
Коли трикутник повністю вписаний в коло, сума двох його кутів при підставі дорівнює 180 градусам.
Для доказу цього факту можна скористатися теоремою про Центральному куті. Якщо ми проведемо лінію від центру кола до кожної вершини трикутника, то отримаємо три рівних кута, так як кожен з них є центральним кутом, який спирається на дугу кола.
Оскільки сума кутів в трикутнику дорівнює 180 градусам, то кожен кут на підставі трикутника буде дорівнює 180° - (Кут на підставі/2), де кут на підставі - це сума двох рівних кутів.
Наприклад, якщо кут на підставі трикутника дорівнює 60 градусам, то кожен з двох рівних кутів буде дорівнює (180° - 60°)/2 = 60 градусам.
| Кут на основі трикутника | Рівні кути |
|---|---|
| 30 градусів | 75 градусів |
| 45 градусів | 67.5 градусів |
| 60 градусів | 60 градусів |
| 90 градусів | 45 градусів |
Таким чином, сума двох кутів на підставі трикутника, вписаного в коло, завжди буде дорівнює 180 градусам.
Умови існування трикутника вписаного в коло
Для того щоб трикутник міг бути вписаним в окружність, необхідно виконання наступних умов:
Умова 1: Всі вершини трикутника повинні лежати на колі.
Тобто, якщо трикутник має вершини A, B і C, то кожна з цих вершин повинна лежати на колі, тобто відстань від вершини до центру кола має бути однаковим.
Умова 2: Сума кутів трикутника повинна дорівнювати 180 градусам.
Це обов'язкова властивість трикутника, незалежно від того, вписаний він в коло чи ні. Сума всіх внутрішніх кутів трикутника завжди дорівнює 180 градусам.
Умова 3: Якщо трикутник ABC вписаний в коло, то його центр кола лежить на перпендикулярах, проведених з середин всіх сторін трикутника.
Тобто, якщо D, E і F - середини сторін AB, BC і AC відповідно, то точка O, що є центром кола, лежить на перетині всіх перпендикулярів, проведених з точок D, E і F.
Трикутник, що задовольняє всім цим умовам, називається вписаним в коло.
Обчислення кутів трикутника вписаного в коло
Якщо трикутник вписаний в коло, то для обчислення кутів цього трикутника ми можемо використовувати властивість, яка говорить, що центральний кут, утворений хордою, дорівнює подвоєному куту на колі.
Припустимо, що у нас є трикутник ABC, вписаний в коло. Вершинами трикутника є точки A, B і C, а радіус кола позначимо як r. кути трикутника позначимо як A, B і C відповідно.
Відомо, що хорда AB є діаметром кола, тому кут у вершині a вимірює 90 градусів. Таким чином, кут BAC і кут ABC повинні бути рівними. Запишемо їх як x.
Так як центральний кут AOC дорівнює подвоєному куту на окружності, виходить, що кут ACB вимірює 2x градусів.
Тепер подивіться на трикутник ACB. Сума всіх кутів трикутника дорівнює 180 градусів. Відомо, що кут ACB дорівнює 2x градусів, а кут BAC дорівнює 90 градусів. Замінивши значення, отримаємо:
Спростивши рівняння, отримаємо:
Віднімаємо 90 з обох сторін:
Розділимо обидві сторони на 3:
Таким чином, кути трикутника вписаного в коло рівні: a = 90 градусів, B = 30 градусів і C = 30 градусів.