Парабола - це крива другого порядку, яка є геометричним місцем точок, рівновіддалених від фокусу і нерухомої прямої, званої директриса. Гілки параболи та їх вершини дуже важливі для розуміння та аналізу цієї кривої. У даній статті ми розглянемо кілька методів визначення вершин гілки параболи.
Перший метод заснований на алгебраїчній формулі параболи. Якщо дано рівняння параболи виду y = ax^2 + bx + c, то вершина гілки параболи може бути знайдена за формулою x = -b/2a. Ця формула дозволяє визначити горизонтальну координату вершини параболи.
Другий метод заснований на графічному поданні параболи. Ми можемо побудувати графік параболи на координатній площині і візуально визначити вершину параболи. Вершина буде найвищою або найнижчою точкою графіка. Ми також можемо використовувати трикутну форму параболи, щоб визначити вершину.
Геометричне визначення вершин гілки параболи
Щоб визначити вершину гілки параболи геометрично, необхідно спочатку знайти фокус і директрису даної параболи. Для цього використовується наступний метод:
- Відзначимо на площині довільні точки A і B.
- З точки A проведемо перпендикуляр до прямої AB.
- На даному перпендикулярі виберемо точку F, яка буде служити фокусом параболи.
- Проведемо пряму, що проходить через точку F і точку B, і позначимо її як директрису.
Після того як фокус і директриса параболи визначені, вершина гілки параболи знаходиться в точці перетину її осі симетрії і прямої, що проходить через фокус і перпендикулярної директрисі.
Таким чином, геометричним визначенням вершин гілки параболи є точка перетину осі симетрії і прямої, що проходить через фокус і перпендикулярної директрисі.
a) Відстань до фокусу
Для визначення вершин гілки параболи можна використовувати метод, заснований на розрахунку відстані до фокуса.
Гілка параболи-це графік квадратичної функції, заданої рівнянням y = ax^2 + bx + c, де A, B і c - постійні коефіцієнти. Фокус параболи визначається рівнянням x = - b / 2a.
Відстань від точки на гілці параболи до фокусу можна знайти за допомогою формули:
d = sqrt((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2),
де (x_0, y_0) - координати фокусу параболи, а (x, y) - координати точки на гілці параболи.
Знайшовши відстань до фокусу для кількох точок на гілці параболи, можна визначити, де знаходяться вершини параболи. Вершина параболи буде знаходитися в точці, відстань до фокуса якої буде мінімальним.
Використовуючи цей метод, можна швидко і точно визначити вершини гілки параболи без необхідності вирішувати рівняння квадратичної функції.
| x | y | Відстань до фокусу |
|---|---|---|
| -2 | 4 | 2 |
| -1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 2 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
Абсциса і ордината вершини
Для визначення абсциси і ординати вершини параболи існує кілька методів.
Один з них-використання формули: x = -b / (2a), де x - абсциса вершини, a і b - коефіцієнти параболи. Ордината вершини визначається підстановкою знайденої абсциси в рівняння параболи.
Іншим методом є використання геометричного підходу. Парабола симетрична відносно прямої, що проходить через вершину параболи. Таким чином, абсциса вершини збігається з координатою прямої симетрії. Ордината вершини може бути знайдена шляхом підстановки абсциси вершини в рівняння параболи.
Алгебраїчне визначення вершин гілки параболи
Вершина гілки параболи має координати (h, k), де h - абсциса вершини, а k - ордината вершини. Алгебраїчний спосіб визначення вершин заснований на формулі-b / (2a) для значення h і підстановці цього значення в рівняння параболи для визначення k.
Кроки для визначення координат вершини гілки параболи:
- Знайдіть коефіцієнт a, b і c у рівнянні параболи.
- Обчисліть значення h, використовуючи формулу-b / (2a).
- Підставте отримане значення h у рівняння параболи, щоб знайти значення k.
- Отримані значення h і k є координатами вершини гілки параболи.
Наприклад, рівняння параболи y = 2x^2 - 4x + 3 має коефіцієнти a = 2, b = -4 і c = 3. Застосовуючи алгебраїчний підхід, ми можемо обчислити значення h наступним чином:
Потім підставляємо значення h у рівняння:
k = 2*(1)^2 - 4*(1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1
Таким чином, вершина гілки параболи для даного рівняння є точкою (1, 1).